IME / ITA

Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0,25 cm do vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado AB mede [tex3]\frac{\sqrt{π^{2}+1}}{2π}[/tex3] cm, o volume desse solido, em [tex3]cm^{3}[/tex3] , é igual a:

a)[tex3]\frac{9}{16}[/tex3]

b)[tex3]\frac{13}{96}[/tex3]

c)[tex3]\frac{7}{24}[/tex3]

d)[tex3]\frac{9}{24}[/tex3]

e)[tex3]\frac{11}{96}[/tex3]

Eu não estou conseguindo visualizar o sólido formado, então se possível adicionar a imagem. Obrigada

Olá!

Na realidade a resposta completa seria :

C)[tex3]\left(\frac{7}{24}\right)(\sqrt{π² - π + 1})cm³[/tex3]

Olá Cardoso.. sim, a letra C é a correta.. mas como vc chegou nela?

Olá!

Observe:

Ao rotacionar o triângulo em torno da reta mencionada acima, o sólido que irá se formar será um cilindro "ocado", no qual a parte "ocada" trata-se de dois troncos de cone ( um na parte esquerda e outro `a direita ).

Calculando a altura do tronco de cone, considerando o triângulo retângulo ABM, onde AB( hipotenusa ) , AM ( cateto , altura do triângulo ABC ) e BM ( cateto, onde M é ponto médio da base BC ) , temos:

( AB )² = ( BM )² + ( AM )²

[tex3]\left(\frac{\sqrt{π² + 1}}{2π}\right)^{2}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/tex3]

[tex3]\frac{π² + 1}{4π²}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]

( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1}{4π²} - \frac{1}{4}[/tex3]

( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1 - π²}{4π²}[/tex3]

BM = [tex3]\sqrt{\frac{1}{4π²}}[/tex3]

Logo;

BM = [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3] ( altura do tronco de cone, que corresponde também a metade da base do triângulo ABC )
e
BC = [tex3]\frac{1}{π}[/tex3] ( altura do cilindro "ocado" ,que corresponde também a base do triângulo ABC ).

Por outro lado, o raio do cilindro é [tex3]r_{cil}=
0,75 = \frac{3}{4} [/tex3] ( corresponde a distância da reta `a base BC do triângulo ABC )

Calculando o volume do cilindro, temos:

[tex3]V_{cil}[/tex3] = π.[tex3]r²_{cil}[/tex3] .[tex3]h_{cil}[/tex3]

[tex3]V_{cil}[/tex3] = π.[tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^{2}[/tex3] .[tex3]\left(\frac{1}{π}\right)[/tex3]

[tex3]V_{cil}[/tex3] = [tex3]\left(\frac{9}{16}\right)\cdot ( 1 )[/tex3]

[tex3]V_{cil}[/tex3] = [tex3]\left(\frac{9}{16}\right) [/tex3] cm³

O raio maior do tronco de cone equivale ao raio do cilindro ( [tex3]R_{tc} = r_{cil} = \frac{3}{4}[/tex3] ), com relação ao raio menor do tronco de cone corresponde `a distância da reta paralela `a base BC do triângulo ABC ao vértice A, ou seja , [tex3]r_{tc} = 0,25 = \frac{1}{4}[/tex3] , daí, calculando o volume dos dois troncos de cone, temos:

[tex3]V_{tc} = \left(\frac{π\cdot h_{tc}}{3}\right)\cdot ( R_{tc}^{2} + R_{tc}\cdot r_{tc} + r_{tc}^{2} )[/tex3]

Como são dois troncos de cone, multiplicamos por dois(2), fica;

[tex3]V_{tc} = \left(\frac{2π\cdot \frac{1}{2π}}{3}\right)\cdot [/tex3] [ [tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^{2} + \left(\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right)^{2}[/tex3] ]

Desenvolvendo, resulta em;

[tex3]V_{tc} = \left(\frac{13}{48}\right) [/tex3] cm³

Portanto, o volume do sólido resultante é:

[tex3]V_{sr}[/tex3] = [tex3]V_{cil} - V_{tc}[/tex3]

[tex3]V_{sr} = \left(\frac{9}{16}\right) - \left(\frac{13}{48}\right)[/tex3]

[tex3]V_{sr} = \left(\frac{27 - 13}{48}\right)[/tex3]

[tex3]V_{sr} = \left(\frac{14}{48}\right)[/tex3]

[tex3]V_{sr} = \left(\frac{7}{24}\right)cm³[/tex3] , alternativa C).

Nota:

Infelizmente não foi possível enviar a figura, resolvido através do meu celular, não sei se é por causa disso...

Muito obrigada Cardoso1979!!

.. Não tem problema.. vc explicou tão bem q consegui visualizar

. Sua resposta ficou muito boa.. Obrigada

Tem uma solução bem mais simples usando o teorema de Papus
O teorema afirma que o volume do sólido será igual o produto da área da figura (no caso o triângulo ABC) vezes e comprimento do círculo gerado pelo baricentro da figura.
Veja que a altura é h = 0,75 - 0,25 = 0,5 cm
O baricentro estará localizado a 0,5/3 cm da base, de modo que a distância do baricentro até a reta é d= 3/4 - 1/6 = 7/12 cm
Cálculo da base do triângulo por Pitágoras:
[tex3]\ell^2 = \frac{\pi ^2 +1}{4\pi^2} - \frac{1}{4} = \frac{\pi^2 +1 -\pi^2}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi^2}\therefore \ell = \frac{1}{2\pi}[/tex3] de modo que a base mede [tex3]2\ell = \frac 1 \pi [/tex3] . Logo, a área será [tex3]A= \frac{2\ell h}{2} = \frac{\frac 1 \pi \frac 1 2}{2} = \frac{1}{4\pi} cm^2[/tex3]
[tex3]\therefore V = 2\pi d A = 2\pi \frac 7 {12} \frac {1}{4\pi} = \frac 7 {24}[/tex3] cm³
a resolução do colega deve possuir algum erro

obs: essa questão é do ITA 2014, e o gabarito oficial está como letra c)

Não sabia q essa questão já havia caído na prova oficial.. peguei de um simulado mesmo.. Também n conhecia o teorema de Papus, obrigada por me apresentar a ele. Sinceramente foquei apenas na explicação do Cardoso1979 pois apenas n estava conseguindo visualizar o sólido fiz sozinha por isso n reparei muito no cálculo dele.. Obrigada LucasPinafi.. vou ver se encontro o erro do Cardoso1979 comparando com os meus cálculos, pois creio que segui um caminho semelhante ao dele

Cardoso.. creio q seu erro esteja na primeira operação, pois a altura vai dar [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3]

Olá!

Perdão, somente agora vi o meu erro...o meu erro está na terceira linha , no início do cálculo, ou melhor, na aplicação do teorema de Pitágoras, infelizmente com esse erro o problema se estendeu até o final do cálculo

[tex3]\left(\frac{\sqrt{π² + 1}}{2π}\right)^{2}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/tex3]

[tex3]\frac{π² + 1}{4π²}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] ( o início do erro está aqui, esqueci de elevar o pi (π) do denominador ao quadrado )

( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1}{4π²} - \frac{1}{4}[/tex3]

( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1 - π²}{4π²}[/tex3]

( BM )² = [tex3]\frac{1}{4π²}[/tex3]

BM = [tex3]\sqrt{\frac{1}{4π²}}[/tex3]

BM = [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3] ( aqui está a altura do "tronco de cone", daqui para frente ,basta usar esse valor que chegará ao resultado correto, mais uma vez perdão pelo meu equívoco, e obrigado ao LucasPinafi, por ter me alertado...a solução dele está excelente, eu sinceramente não havia pensado nessa maneira aí.

PS : Consegui editar e consequentemente corrigi a resolução.

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