Olimpíadas ⇒ (O.M Canadá - 96) Equação Polinomial

[Flavio2020]

Se [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

,B e [tex3]\theta [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta [/tex3]

são as raízes da equação [tex3]x^{3}[/tex3]

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[tex3]x^{3}[/tex3]

-x-1=0. Calcule [tex3]\frac{1+\alpha }{1-\alpha } + \frac{1+B}{1-B} + \frac{1+\theta }{1-\theta }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1+\alpha }{1-\alpha } + \frac{1+B}{1-B} + \frac{1+\theta }{1-\theta }[/tex3]

.

Resposta

---

R:-7

[Auto Excluído (ID:17906)]

Bom dia meu amigo, essa é uma questão bem chata para digitar no formato TeX3. Rss
Pelas "Fórmulas de Vieta"(link: https://youtu.be/_sk29hnNlr8), teremos:
[tex3]\alpha + \beta + \theta = \frac{-0}{1}=0[/tex3]

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[tex3]\alpha + \beta + \theta = \frac{-0}{1}=0[/tex3]

[tex3]\alpha . \beta + \alpha . \theta + \beta . \theta = \frac{-1}{1}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha . \beta + \alpha . \theta + \beta . \theta = \frac{-1}{1}=-1[/tex3]

[tex3]\alpha . \beta . \theta = \frac{1}{1}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha . \beta . \theta = \frac{1}{1}=1[/tex3]

Agora vamos tentar transformar a soma das icognitas para podermos substituir e encontrarmos um valor
[tex3]\frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{1+\beta}{1-\beta}+\frac{1+\theta}{1-\theta}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1+\alpha}{1-\alpha}+\frac{1+\beta}{1-\beta}+\frac{1+\theta}{1-\theta}[/tex3]

[tex3]\frac{(1+\alpha)(1-\beta)(1-\theta)+(1+\beta)(1-\alpha)(1-\theta)+(1+\theta)(1-\alpha)(1-\beta)}{(1-\alpha)(1-\beta)(1-\theta)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(1+\alpha)(1-\beta)(1-\theta)+(1+\beta)(1-\alpha)(1-\theta)+(1+\theta)(1-\alpha)(1-\beta)}{(1-\alpha)(1-\beta)(1-\theta)}[/tex3]

[tex3]\frac{(1-\theta-\beta+\beta . \theta +\alpha-\alpha . \theta - \alpha . \beta + \alpha . \beta . \theta)+(1- \theta - \alpha + \alpha . \theta + \beta - \beta . \theta - \alpha . \beta + \alpha . \beta . \theta)+(1 - \beta - \alpha + \alpha . \beta + \theta - \beta . \theta - \alpha . \theta + \alpha . \beta . \theta)}{(1 - \theta - \beta + \beta . \theta - \alpha + \alpha . \theta + \alpha . \beta - \alpha . \beta . \theta)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(1-\theta-\beta+\beta . \theta +\alpha-\alpha . \theta - \alpha . \beta + \alpha . \beta . \theta)+(1- \theta - \alpha + \alpha . \theta + \beta - \beta . \theta - \alpha . \beta + \alpha . \beta . \theta)+(1 - \beta - \alpha + \alpha . \beta + \theta - \beta . \theta - \alpha . \theta + \alpha . \beta . \theta)}{(1 - \theta - \beta + \beta . \theta - \alpha + \alpha . \theta + \alpha . \beta - \alpha . \beta . \theta)}[/tex3]

[tex3]\frac{3 -2(\alpha + \beta + \theta) -(\alpha . \beta + \alpha . \theta + \beta . \theta) +3(\alpha . \beta . \theta)}{1-(\alpha + \beta + \theta) +(\alpha . \beta + \alpha . \theta + \beta . \theta)-(\alpha . \beta . \theta)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3 -2(\alpha + \beta + \theta) -(\alpha . \beta + \alpha . \theta + \beta . \theta) +3(\alpha . \beta . \theta)}{1-(\alpha + \beta + \theta) +(\alpha . \beta + \alpha . \theta + \beta . \theta)-(\alpha . \beta . \theta)}[/tex3]

Substituindo, teremos:
[tex3]\frac{3-0+1+3}{1-0-1-1}=-7[/tex3]

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[tex3]\frac{3-0+1+3}{1-0-1-1}=-7[/tex3]

[LucasPinafi]

Vamos organizar essa expressão de maneira mais conveniente:
[tex3]\omega = \frac{1+\alpha}{1-\alpha}+ \frac{1+\beta}{1-\beta}+ \frac{1+\theta}{1-\theta} = \frac{1-\alpha +2\alpha}{1-\alpha}
+ \frac{1-\beta + 2\beta}{1-\beta} + \frac{1-\theta + 2\theta}{1-\theta} \\ \omega = 1+\frac{2\alpha}{1-\alpha}+ 1+\frac{2\beta}{1-\beta}+1 +\frac{2\theta}{1-\theta} =3+2\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}+ \frac \beta{1-\beta} + \frac{\theta} { 1-\theta} \right) [/tex3]

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[tex3]\omega = \frac{1+\alpha}{1-\alpha}+ \frac{1+\beta}{1-\beta}+ \frac{1+\theta}{1-\theta} = \frac{1-\alpha +2\alpha}{1-\alpha}
+ \frac{1-\beta + 2\beta}{1-\beta} + \frac{1-\theta + 2\theta}{1-\theta} \\ \omega = 1+\frac{2\alpha}{1-\alpha}+ 1+\frac{2\beta}{1-\beta}+1 +\frac{2\theta}{1-\theta} =3+2\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}+ \frac \beta{1-\beta} + \frac{\theta} { 1-\theta} \right) [/tex3]

Creio que a solução fica mais simples se tomarmos a mudança de variáveis:
[tex3]a= 1-\alpha[/tex3]

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[tex3]a= 1-\alpha[/tex3]

[tex3]b=1-\beta[/tex3]

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[tex3]b=1-\beta[/tex3]

[tex3]c=1-\theta[/tex3]

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[tex3]c=1-\theta[/tex3]

Veja que [tex3]\alpha = 1- a[/tex3]

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[tex3]\alpha = 1- a[/tex3]

, [tex3]\beta = 1-b[/tex3]

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[tex3]\beta = 1-b[/tex3]

e [tex3]\theta = 1- c[/tex3]

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[tex3]\theta = 1- c[/tex3]

.
Logo, se [tex3](\alpha, \beta, \theta)[/tex3]

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[tex3](\alpha, \beta, \theta)[/tex3]

são soluções de [tex3]P(x) = 0 [/tex3]

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[tex3]P(x) = 0 [/tex3]

, então [tex3](a,b,c)[/tex3]

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[tex3](a,b,c)[/tex3]

serão soluções de [tex3]P(1-x) =0[/tex3]

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[tex3]P(1-x) =0[/tex3]

. Como, [tex3]P(1-x) \equiv ( 1-x)^3 -(1-x) -1 = - x^3 +3x^2-2x-1=0 \Longrightarrow x^3 -3x^2+2x+1=0[/tex3]

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[tex3]P(1-x) \equiv ( 1-x)^3 -(1-x) -1 = - x^3 +3x^2-2x-1=0 \Longrightarrow x^3 -3x^2+2x+1=0[/tex3]

.Voltando a expressão que queremos calcular, segue que:
[tex3]\omega = 3 + 2 \left(\frac{(1-a) bc + (1-b)ac+(1-c)ab}{abc} \right) = 3 + 2 \left(\frac{(ab+ac+bc) - 3abc}{abc} \right) [/tex3]

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[tex3]\omega = 3 + 2 \left(\frac{(1-a) bc + (1-b)ac+(1-c)ab}{abc} \right) = 3 + 2 \left(\frac{(ab+ac+bc) - 3abc}{abc} \right) [/tex3]

Mas, [tex3]ab+ac+bc=2[/tex3]

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[tex3]ab+ac+bc=2[/tex3]

e [tex3]abc=-1[/tex3]

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[tex3]abc=-1[/tex3]

. Logo, [tex3]\omega = 3 + 2\cdot \frac{2-3(-1)}{-1} = 3+ 2 \frac{5}{-1} = 3- 10 =
- 7[/tex3]

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[tex3]\omega = 3 + 2\cdot \frac{2-3(-1)}{-1} = 3+ 2 \frac{5}{-1} = 3- 10 =
- 7[/tex3]

.

[jomatlove]

Resolução
[tex3]\bullet x^{3}-x-1=0[/tex3]

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[tex3]\bullet x^{3}-x-1=0[/tex3]

[tex3]\bullet [/tex3]

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[tex3]\bullet [/tex3]

Relações de Girard:
[tex3]\alpha +\beta +\theta =0[/tex3]

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[tex3]\alpha +\beta +\theta =0[/tex3]

[tex3]\alpha \beta +\alpha \theta +\beta \theta =-1[/tex3]

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[tex3]\alpha \beta +\alpha \theta +\beta \theta =-1[/tex3]

[tex3]\alpha \beta \theta =1[/tex3]

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[tex3]\alpha \beta \theta =1[/tex3]

[tex3]\bullet M=\frac{1+\alpha }{1-\alpha }+\frac{1+\beta }{1-\beta }+\frac{1+\theta }{1-\theta }[/tex3]

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[tex3]\bullet M=\frac{1+\alpha }{1-\alpha }+\frac{1+\beta }{1-\beta }+\frac{1+\theta }{1-\theta }[/tex3]

[tex3]M=(\frac{1+\alpha }{1-\alpha }+1)+(\frac{1+\beta }{1-\beta }+1)+(\frac{1+\theta }{1-\theta }+1)-3[/tex3]

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[tex3]M=(\frac{1+\alpha }{1-\alpha }+1)+(\frac{1+\beta }{1-\beta }+1)+(\frac{1+\theta }{1-\theta }+1)-3[/tex3]

[tex3]M=\frac{1+\alpha +1-\alpha }{1-\alpha }+\frac{1+\beta +1-\beta }{1-\beta }+\frac{1+\theta +1-\theta }{1-\theta }-3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M=\frac{1+\alpha +1-\alpha }{1-\alpha }+\frac{1+\beta +1-\beta }{1-\beta }+\frac{1+\theta +1-\theta }{1-\theta }-3[/tex3]

[tex3]M=\frac{2}{1-\alpha }+\frac{2}{1-\beta }+\frac{2}{1-\theta }-3[/tex3]

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[tex3]M=\frac{2}{1-\alpha }+\frac{2}{1-\beta }+\frac{2}{1-\theta }-3[/tex3]

[tex3]M=2(\frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-\beta }+\frac{1}{1-\theta })-3[/tex3]

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[tex3]M=2(\frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-\beta }+\frac{1}{1-\theta })-3[/tex3]

[tex3]M=2.\frac{(1-\alpha )(1-\beta )+(1-\alpha )(1-\theta )+(1-\beta )(1-\theta )}{(1-\alpha )(1-\beta )(1-\theta )}-3[/tex3]

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[tex3]M=2.\frac{(1-\alpha )(1-\beta )+(1-\alpha )(1-\theta )+(1-\beta )(1-\theta )}{(1-\alpha )(1-\beta )(1-\theta )}-3[/tex3]

[tex3]M=2.\frac{3-2(\alpha +\beta +\theta )+(\alpha \beta +\alpha \theta +\beta \theta )}{1-(\alpha +\beta +\theta )+(\alpha \beta +\alpha \theta +\beta \theta )-\alpha \beta \theta }-3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M=2.\frac{3-2(\alpha +\beta +\theta )+(\alpha \beta +\alpha \theta +\beta \theta )}{1-(\alpha +\beta +\theta )+(\alpha \beta +\alpha \theta +\beta \theta )-\alpha \beta \theta }-3[/tex3]

Substituindo os valores:
[tex3]M=2.\frac{3-2.0-1}{1-0-1-1}-3[/tex3]

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[tex3]M=2.\frac{3-2.0-1}{1-0-1-1}-3[/tex3]

[tex3]M=2.(-2)-3[/tex3]

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[tex3]M=2.(-2)-3[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{M=-7}[/tex3]

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[tex3]\therefore \boxed{M=-7}[/tex3]