(OIM 1985) Encontrar as raízes [tex3]r_{1}, \ r_{2}, \ r_{3}, \ r_{4}[/tex3]
[tex3]4x^{4}-ax^{3}+bx^{2}-cx+5=0[/tex3]
sabendo que são reais positivos e que [tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}=1[/tex3]
Gabarito: [tex3]r_{1}=172, \ r_{2}=1, \ r_{3}=\frac{5}{4}, \ r_{4}=2[/tex3]
da equação:Olimpíadas ⇒ Equação (OIM 1985) Tópico resolvido
- Ittalo25
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Dez 2017
29
16:24
Re: Equação (OIM 1985)
como são reais positivos dá pra usar a desigualdade de médias
[tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}\geq 4\sqrt[4]{\frac{r_1\cdot r_2 \cdot r_3\cdot r_4 \cdot r_5}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]
[tex3]1 \geq 4\sqrt[4]{\frac{\frac{5}{4}}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]
[tex3]1 \geq 1[/tex3]
portanto [tex3]\frac{r_{1}}{2}=\frac{r_{2}}{4}=\frac{r_{3}}{5}=\frac{r_{4}}{8}[/tex3]
de onde sai: [tex3]r_{1}=\frac{1}{2}, \ r_{2}=1, \ r_{3}=\frac{5}{4}, \ r_{4}=2[/tex3]
[tex3]\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}\geq 4\sqrt[4]{\frac{r_1\cdot r_2 \cdot r_3\cdot r_4 \cdot r_5}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]
[tex3]1 \geq 4\sqrt[4]{\frac{\frac{5}{4}}{2\cdot 4\cdot 5 \cdot 8}}[/tex3]
[tex3]1 \geq 1[/tex3]
portanto [tex3]\frac{r_{1}}{2}=\frac{r_{2}}{4}=\frac{r_{3}}{5}=\frac{r_{4}}{8}[/tex3]
de onde sai: [tex3]r_{1}=\frac{1}{2}, \ r_{2}=1, \ r_{3}=\frac{5}{4}, \ r_{4}=2[/tex3]
Editado pela última vez por Ittalo25 em 29 Dez 2017, 16:29, em um total de 2 vezes.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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