OlimpíadasCírculos - Inglaterra 2000

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Atsocs
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Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por Atsocs »

Duas circunferências secantes [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] possuem uma tangente comum que tangencia [tex3]C_1[/tex3] em [tex3]P[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] . As duas circunferências intersectam-se em [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] , onde [tex3]N[/tex3] é mais próximo de [tex3]PQ[/tex3] do que [tex3]M[/tex3] . A reta [tex3]PN[/tex3] encontra a circunferência [tex3]C_2[/tex3] novamente em [tex3]R[/tex3] . Prove que [tex3]MQ[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle{PMR}[/tex3] .




Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2017 28 23:18

Re: Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

seja [tex3]X[/tex3] o encontro de [tex3]PM[/tex3] com [tex3]C2[/tex3] distinto de [tex3]M[/tex3] . Triângulos [tex3]PQX[/tex3] e [tex3]MQR [/tex3] são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3] já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3] é inscritível e [tex3]X[/tex3] é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3] no quadrilátero em questão.
inglaterra (1).png
inglaterra (1).png (64.65 KiB) Exibido 1087 vezes
EDIT: ESTA PARTE ESTÁ ERRADA
[tex3]\angle XQP = \angle QXR[/tex3] (semi-inscritos)

os ângulos acima não são semi-inscritos, eu cometi um engano apesar de os ângulos descritos nesta linha de fato serem iguais. Conseguindo provar que eles são iguais ou seja QX=QR, o problema se resolve:

[tex3]\angle QXR = \angle QMR[/tex3] (ângulos inscritos)
repare agora que [tex3]\angle MRQ = \angle MQP[/tex3] (semi-inscritos) logo triângulo PQM é semelhante a PQX e portanto [tex3]\angle PMQ =
\angle QMR[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 29 Dez, 2017 00:34). Total de 6 vezes.



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Atsocs
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Dez 2017 29 13:29

Re: Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por Atsocs »

sousóeu escreveu:
Qui 28 Dez, 2017 23:18
seja [tex3]X[/tex3] o encontro de [tex3]PM[/tex3] com [tex3]C2[/tex3] distinto de [tex3]M[/tex3] . Triângulos [tex3]PQX[/tex3] e [tex3]MQR [/tex3] são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3] já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3] é inscritível e [tex3]X[/tex3] é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3] no quadrilátero em questão.
Por que conclues que os triangulos são semelhantes com apenas um angulo congruente?



Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2018 02 20:57

Re: Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

[tex3]\angle PMQ = \angle PMN + \angle NMQ = \angle NPQ + \angle NQP = 180 - \angle PNQ = \angle QNR = \angle RMQ[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 02 Jan, 2018 20:58). Total de 1 vez.



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