Determinar o número de divisores de
[tex3]a[/tex3]
, sabiendo que seu cubo tem [tex3]13[/tex3]
vezes mais divisores de [tex3]a[/tex3]
.
Olimpíadas ⇒ Cubo e divisores Tópico resolvido
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Superaks
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Dez 2017
23
20:27
Re: Cubo e divisores
Vou considerar os divisores positivos.
Como a > 1, podemos escrevelo como o produto de números primos
a = p1^(a1) . p2^(a2) * ... * pn^(an)
a³ = p1^(3a1) . p2^(3a2) * ... * pn^(3an)
A quantidade de divisores positivos de a pode ser calculado da seguinte forma:
(a1 + 1)(a2 + 1) * .... * (an + 1)
Já a quantidade de divisores de a³ é:
(3a1 + 1)(3a2 + 1) * ... * (3an + 1)
Temos que:
(3a1 + 1)(3a2 + 1) * ... * (3an + 1)/[(a1 + 1)(a2 + 1) * ... * (an + 1)] = 13
O menor valor possível para a1, a2, ..., an é 1. Portanto, temos que:
(3 . 1 + 1)(3 . 1 + 1) * ... * (3 . 1 + 1)/[(3 + 1)(3 + 1) * ... * (3 + 1)] < 13
2^n < 13 < 16
2^n < 2^4
n < 4
Então n deve ser no máximo 3.
Temos também que existe um i, 1 <= i <= n tal que
13 | 3ai + 1
Logo,
ai = 13k + 4
Note que k não pode ser maior que 0, pois caso contrário, aquele quociente seria bem maior que 13, logo k = 0.
(3 . 4 + 1)(3a2 + 1)(3a3 + 1)/[(4 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)]
13/5 . (3a2 + 1)(3a3 + 1)/[(a2 + 1)(a3 + 1)]
A ideia agora é eliminar aquele 5, e o menor valor possível para a2 por exemplo para que 5 | 3a2 + 1, é a2 = 3.O próximo valor seria a2 = 8, mas o produto ficaria grande de mais. Portanto, a2 = 3.
13/5 . 10/4 . (3a3 + 1)/(a3 + 1)
13/2 . (3a3 + 1)/(a3 + 1)
Aqui verificamos que a única opção para a3 é a3 = 1.
13/2 . 4/2 = 13
Não tem a hipótese de n ser 2 ou 1 com essa verificação feita acima. Pois foi necessário exatamente de 3 produtos para eliminarmos os denominadores. Com menos produtos não seria possível.
Logo, a quantidade de divisores de a é:
(4 + 1)(3 + 1)(1 + 1)
5 . 4 . 2 = 40 divisores positivos.
Então temos 80 divisores contando os negativos
Como a > 1, podemos escrevelo como o produto de números primos
a = p1^(a1) . p2^(a2) * ... * pn^(an)
a³ = p1^(3a1) . p2^(3a2) * ... * pn^(3an)
A quantidade de divisores positivos de a pode ser calculado da seguinte forma:
(a1 + 1)(a2 + 1) * .... * (an + 1)
Já a quantidade de divisores de a³ é:
(3a1 + 1)(3a2 + 1) * ... * (3an + 1)
Temos que:
(3a1 + 1)(3a2 + 1) * ... * (3an + 1)/[(a1 + 1)(a2 + 1) * ... * (an + 1)] = 13
O menor valor possível para a1, a2, ..., an é 1. Portanto, temos que:
(3 . 1 + 1)(3 . 1 + 1) * ... * (3 . 1 + 1)/[(3 + 1)(3 + 1) * ... * (3 + 1)] < 13
2^n < 13 < 16
2^n < 2^4
n < 4
Então n deve ser no máximo 3.
Temos também que existe um i, 1 <= i <= n tal que
13 | 3ai + 1
Logo,
ai = 13k + 4
Note que k não pode ser maior que 0, pois caso contrário, aquele quociente seria bem maior que 13, logo k = 0.
(3 . 4 + 1)(3a2 + 1)(3a3 + 1)/[(4 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)]
13/5 . (3a2 + 1)(3a3 + 1)/[(a2 + 1)(a3 + 1)]
A ideia agora é eliminar aquele 5, e o menor valor possível para a2 por exemplo para que 5 | 3a2 + 1, é a2 = 3.O próximo valor seria a2 = 8, mas o produto ficaria grande de mais. Portanto, a2 = 3.
13/5 . 10/4 . (3a3 + 1)/(a3 + 1)
13/2 . (3a3 + 1)/(a3 + 1)
Aqui verificamos que a única opção para a3 é a3 = 1.
13/2 . 4/2 = 13
Não tem a hipótese de n ser 2 ou 1 com essa verificação feita acima. Pois foi necessário exatamente de 3 produtos para eliminarmos os denominadores. Com menos produtos não seria possível.
Logo, a quantidade de divisores de a é:
(4 + 1)(3 + 1)(1 + 1)
5 . 4 . 2 = 40 divisores positivos.
Então temos 80 divisores contando os negativos
Editado pela última vez por Superaks em 24 Dez 2017, 18:54, em um total de 5 vezes.
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