Determinar todos os números primos
[tex3]p[/tex3]
e números naturais [tex3]n[/tex3]
tais que
[tex3]p^5+4p+1=n^2[/tex3]
.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Números primos e quadrados Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Auto Excluído (ID:17906)
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Dez 2017
17
13:24
Re: Números primos e quadrados
Ainda não consegui chegar em um padrão, nem em uma fatoração ideal, porém, os únicos valores que eu encontrei foram: [tex3]p=3[/tex3]
e [tex3]n=16[/tex3]
.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 17 Dez 2017, 18:55, em um total de 1 vez.
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Miliotta
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Dez 2017
17
14:12
Re: Números primos e quadrados
Sim, acho que está justo. 
Alguém pode publicar uma resolução?Obrigada.
Alguém pode publicar uma resolução?Obrigada.
-
Auto Excluído (ID:17906)
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Dez 2017
17
15:14
Re: Números primos e quadrados
Você pode tentar escrever assim:
Como p^5 + 4p +1, deverá ser um quadrado perfeito, devemos primeiramente demonstrar que p é positivo.
Sendo p^5, o sinal de p continua o mesmo, não se alterando. Temos também que p na próxima operação de soma deverá muitplicar por 4, o que também não alterará seu sinal.
Então podemos dizer que ele não poderá ser negativo.
Se aplicarmos p=0, teremos como solução um quadrado perfeito, porém, 0 não é número primo.
Seguimos então demostrando a utilização dos outros números primos positivos. {2, 3, 5, ...}
Por congruência (acredito que se já isso) vemos que o 3 é o único número que torna nessa expressão o produto de dois termos idênticos, que podem ser positivos somente positivos, esse dado termo pode então ser o 16.
Como p^5 + 4p +1, deverá ser um quadrado perfeito, devemos primeiramente demonstrar que p é positivo.
Sendo p^5, o sinal de p continua o mesmo, não se alterando. Temos também que p na próxima operação de soma deverá muitplicar por 4, o que também não alterará seu sinal.
Então podemos dizer que ele não poderá ser negativo.
Se aplicarmos p=0, teremos como solução um quadrado perfeito, porém, 0 não é número primo.
Seguimos então demostrando a utilização dos outros números primos positivos. {2, 3, 5, ...}
Por congruência (acredito que se já isso) vemos que o 3 é o único número que torna nessa expressão o produto de dois termos idênticos, que podem ser positivos somente positivos, esse dado termo pode então ser o 16.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 17 Dez 2017, 18:53, em um total de 1 vez.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2017
17
18:02
Re: Números primos e quadrados
[tex3]p(p^4+4) = n^2-1[/tex3]
de onde p divide n-1 ou n+1
supondo n-1 = kp então n+1 = kp+2
[tex3]p(p^4+4) = kp(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 + 4 = k(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 - k^2p =2k-4[/tex3]
[tex3]p(p^3-k^2) = 2(k-2)[/tex3]
como p=2 não funciona, pois [tex3]2^5+9 = 41[/tex3]
então p divide k-2.
k-2= C*p [tex3]k= C*p+2[/tex3]
[tex3]p^3-C^2p^2 -4Cp + 4 = 2*C[/tex3]
[tex3]p(p^2-C^2p-4C) = 2*(C-2)[/tex3]
de novo [tex3]C = mp +2[/tex3]
[tex3]p^2-(mp+2)^2p -4(mp+2) = 2m[/tex3]
[tex3]p^2 -(m^2p^2+4mp+4)p -4mp-8=2m[/tex3]
porém, note que o lado esquerdo da expressão acima é negativo, enquanto o lado direito deve ser positivo para n ser natural.
absurdo.
então p deve dividir n+1
[tex3]p^5 + 4p +1 = n^2[/tex3]
[tex3]p^5 - (p+1)^4 +4p+1 = n^2-(p+1)^4[/tex3]
[tex3]p^5 - p^4 - 4p^3-6p^2 = (n-(p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]p^2(p^3-p^2-4p-6) = (n - (p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
como p não divide [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] devemos ter que [tex3]p^2[/tex3] divide [tex3]n+1+2p[/tex3]
e [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] divide [tex3]p^3-p^2-4p-6[/tex3]
[tex3]p^3 -p^2-4p-6 = k*(n-(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]n + (p+1)^2 = p^2*m[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 = -2k*(p+1)^2[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 + 2k(p+1)^2= 0[/tex3]
[tex3]p^3 + 2k(p+1)^2 = p^2(mk+1)+4p+6[/tex3] (*)
[tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
de onde [tex3]k - p = \frac{p^3 - p^3(m-2) -5}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
vamos supor m>2
[tex3]p^2m+1-2(p+1)^2 \geq 3p^2+1-2p^2-4p-2 = p^2-4p -1 = (p-2)^2-5[/tex3]
se p=3 numerador e denominador serão negativos, de fato p=3 leva a n=16. Para todo outro primo teremos numerador negativo e denominador positivo de onde
[tex3]k - p <0[/tex3] logo [tex3]k <p [/tex3] mas [tex3]2k - 6[/tex3] é divisível por p de (*) e [tex3]2k < 2p[/tex3]
logo [tex3]2k-6 = p*n < 2p[/tex3] mas [tex3]n<2[/tex3] de onde [tex3]p =2k-6[/tex3] e então p é divisível por 2. Absurdo.
logo sobrou m=1 e m=2
se m=2 [tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{- 4p-1}[/tex3] que é negativo para p>3
para m=1 n é negativo. Logo p=3 é a única solução.
de onde p divide n-1 ou n+1
supondo n-1 = kp então n+1 = kp+2
[tex3]p(p^4+4) = kp(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 + 4 = k(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 - k^2p =2k-4[/tex3]
[tex3]p(p^3-k^2) = 2(k-2)[/tex3]
como p=2 não funciona, pois [tex3]2^5+9 = 41[/tex3]
então p divide k-2.
k-2= C*p [tex3]k= C*p+2[/tex3]
[tex3]p^3-C^2p^2 -4Cp + 4 = 2*C[/tex3]
[tex3]p(p^2-C^2p-4C) = 2*(C-2)[/tex3]
de novo [tex3]C = mp +2[/tex3]
[tex3]p^2-(mp+2)^2p -4(mp+2) = 2m[/tex3]
[tex3]p^2 -(m^2p^2+4mp+4)p -4mp-8=2m[/tex3]
porém, note que o lado esquerdo da expressão acima é negativo, enquanto o lado direito deve ser positivo para n ser natural.
absurdo.
então p deve dividir n+1
[tex3]p^5 + 4p +1 = n^2[/tex3]
[tex3]p^5 - (p+1)^4 +4p+1 = n^2-(p+1)^4[/tex3]
[tex3]p^5 - p^4 - 4p^3-6p^2 = (n-(p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]p^2(p^3-p^2-4p-6) = (n - (p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
como p não divide [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] devemos ter que [tex3]p^2[/tex3] divide [tex3]n+1+2p[/tex3]
e [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] divide [tex3]p^3-p^2-4p-6[/tex3]
[tex3]p^3 -p^2-4p-6 = k*(n-(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]n + (p+1)^2 = p^2*m[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 = -2k*(p+1)^2[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 + 2k(p+1)^2= 0[/tex3]
[tex3]p^3 + 2k(p+1)^2 = p^2(mk+1)+4p+6[/tex3] (*)
[tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
de onde [tex3]k - p = \frac{p^3 - p^3(m-2) -5}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
vamos supor m>2
[tex3]p^2m+1-2(p+1)^2 \geq 3p^2+1-2p^2-4p-2 = p^2-4p -1 = (p-2)^2-5[/tex3]
se p=3 numerador e denominador serão negativos, de fato p=3 leva a n=16. Para todo outro primo teremos numerador negativo e denominador positivo de onde
[tex3]k - p <0[/tex3] logo [tex3]k <p [/tex3] mas [tex3]2k - 6[/tex3] é divisível por p de (*) e [tex3]2k < 2p[/tex3]
logo [tex3]2k-6 = p*n < 2p[/tex3] mas [tex3]n<2[/tex3] de onde [tex3]p =2k-6[/tex3] e então p é divisível por 2. Absurdo.
logo sobrou m=1 e m=2
se m=2 [tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{- 4p-1}[/tex3] que é negativo para p>3
para m=1 n é negativo. Logo p=3 é a única solução.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 17 Dez 2017, 22:24, em um total de 2 vezes.
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Auto Excluído (ID:17906)
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17
18:32
Re: Números primos e quadrados
Falta adicionar o -16 aos possíveis valores de n.sousóeu escreveu: ↑17 Dez 2017, 18:02 [tex3]p(p^4+4) = n^2-1[/tex3]
de onde p divide n-1 ou n+1
supondo n-1 = kp então n+1 = kp+2
[tex3]p(p^4+4) = kp(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 + 4 = k(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 - k^2p =2k-4[/tex3]
[tex3]p(p^3-k^2) = 2(k-2)[/tex3]
como p=2 não funciona, pois [tex3]2^5+9 = 41[/tex3]
então p divide k-2.
k-2= C*p [tex3]k= C*p+2[/tex3]
[tex3]p^3-C^2p^2 -4Cp + 4 = 2*C[/tex3]
[tex3]p(p^2-C^2p-4C) = 2*(C-2)[/tex3]
de novo [tex3]C = mp +2[/tex3]
[tex3]p^2-(mp+2)^2p -4(mp+2) = 2m[/tex3]
[tex3]p^2 -(m^2p^2+4mp+4)p -4mp-8=2m[/tex3]
porém, note que o lado esquerdo da expressão acima é negativo, enquanto o lado direito deve ser positivo para n ser natural.
absurdo.
então p deve dividir n+1
[tex3]p^5 + 4p +1 = n^2[/tex3]
[tex3]p^5 - (p+1)^4 +4p+1 = n^2-(p+1)^4[/tex3]
[tex3]p^5 - p^4 - 4p^3-6p^2 = (n-(p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]p^2(p^3-p^2-4p-6) = (n - (p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
como p não divide [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] devemos ter que [tex3]p^2[/tex3] divide [tex3]n+1+2p[/tex3]
e que [tex3]p^3-p^2-4p-6 \geq n -(p+1)^2[/tex3]
[tex3]p^3 -2p - 5 \geq n [/tex3]
e [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] divide [tex3]p^3-p^2-4p-6[/tex3]
[tex3]p^3 -p^2-4p-6 = k*(n-(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]n + (p+1)^2 = p^2*m[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 = -2k*(p+1)^2[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 + 2k(p+1)^2= 0[/tex3]
[tex3]p^3 + 2k(p+1)^2 = p^2(mk+1)+4p+6[/tex3] (*)
[tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
de onde [tex3]k - p = \frac{p^3 - p^3(m-2) -5}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
vamos supor m>2
[tex3]p^2m+1-2(p+1)^2 \geq 3p^2+1-2p^2-4p-2 = p^2-4p -1 = (p-2)^2-5[/tex3]
se p=3 numerador e denominador serão positivos, de fato p=3 leva a n=16. Para todo outro primo teremos numerador negativo e denominador positivo de onde
[tex3]k - p <0[/tex3] logo [tex3]k <p [/tex3] mas [tex3]2k - 6[/tex3] é divisível por p de (*) e [tex3]2k < 2p[/tex3]
logo [tex3]2k-6 = p*n < 2p[/tex3] mas [tex3]n<2[/tex3] de onde [tex3]p =2k-6[/tex3] e então p é divisível por 2. Absurdo.
logo sobrou m=1 e m=2
se m=2 [tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{- 4p-1}[/tex3] que é negativo para p>3
para m=1 n é negativo. Logo p=3 é a única solução.
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17
18:51
Re: Números primos e quadrados
Ah sim, estava me esquecendo desse "DETALHE"
.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 17 Dez 2017, 18:56, em um total de 1 vez.
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Miliotta
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Dez 2017
18
09:15
Re: Números primos e quadrados
Obrigada sousóeu, bela solução;
E graças para ti também GuiBernardo.
E graças para ti também GuiBernardo.
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Dez 2017
18
11:29
Re: Números primos e quadrados
agora que eu vi, 3 divide 15 que é n-1. Então por mais bonitinha que seja a solução tem algum erro nela hahahaha
nesse caso C=1, então C-2 dava negativo. Acho que o fato do lado direito ser negativo não gerava absurdo, pois deu origem a um n natural.
nesse caso C=1, então C-2 dava negativo. Acho que o fato do lado direito ser negativo não gerava absurdo, pois deu origem a um n natural.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 18 Dez 2017, 11:33, em um total de 1 vez.
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