Ensino Superior ⇒ Maior taxa de variação ao longo de uma curva

[Lennovo]

Boa tarde a todos e socorro nesse questão.

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Dadas as funções [tex3]f(x,y)=e^{x+y}[/tex3]

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[tex3]f(x,y)=e^{x+y}[/tex3]

e [tex3]f(x,y)=x^2y^3[/tex3]

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[tex3]f(x,y)=x^2y^3[/tex3]

e a curva dada pelo gráfico de [tex3]y=x^2[/tex3]

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[tex3]y=x^2[/tex3]

, qual das duas funções tem a maior taxa de variação ao longo da curva, a partir do ponto (1, 1)?

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Eu calculei a equação de uma reta tangente ao ponto, que seria y=2x-1, então eu calculei algum vetor diretor da reta, consegui <1,2>.

Fiz o vetor/sua norma para adquirir o vetor unitário.

Com o vetor unitário eu usei a formula de taxa de variação pela derivada direcional
(Gradiente de F no ponto * vetor unitário na direção)

Ficou isso pra F:
[tex3](e^(1+y),e^(1+x))*(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})[/tex3]

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[tex3](e^(1+y),e^(1+x))*(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})[/tex3]

E isso para G:
[tex3](2y^3,3x^2))*(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})[/tex3]

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[tex3](2y^3,3x^2))*(1/\sqrt{5},2/\sqrt{5})[/tex3]

A questão é que não sei se até onde fiz faz algum sentido para continuar, e se tem algum sentido(duvido) eu teria que substituir os pontos em F e G denovo?

[LucasPinafi]

Acho que dá de fazer assim.. dá uma olhada no gabarito
[tex3]f(x,y) = e^{x+x^2} = F (x) \Longrightarrow F'(x) = (2x+1) e^{x+x^2} \Longrightarrow F' (1) = 3e^{3} [/tex3]

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[tex3]f(x,y) = e^{x+x^2} = F (x) \Longrightarrow F'(x) = (2x+1) e^{x+x^2} \Longrightarrow F' (1) = 3e^{3} [/tex3]

[tex3]g(x,y) = x^2 y^3 = x^2 (x^2)^3 = x^2 x^6 = x^8 = G(x) \Longrightarrow G'(x) = 8x^7 \Longrightarrow G'(1) = 8[/tex3]

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[tex3]g(x,y) = x^2 y^3 = x^2 (x^2)^3 = x^2 x^6 = x^8 = G(x) \Longrightarrow G'(x) = 8x^7 \Longrightarrow G'(1) = 8[/tex3]

de modo que F possui maior variação.