Olimpíadas ⇒ Números Inteiros Tópico resolvido

[Babi123]

(OBM) Cinco inteiros positivos [tex3]a,b,c,d,e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b,c,d,e[/tex3]

maiores que um satisfazem as seguintes condições:
[tex3]\begin{cases}
a\cdot (b+c+d+e)=128 \\
b\cdot (a+c+d+e)=155 \\
c\cdot (a+b+d+e)=203 \\
d\cdot (a+b+c+e)=243\\
e\cdot (a+b+c+d)=275
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a\cdot (b+c+d+e)=128 \\
b\cdot (a+c+d+e)=155 \\
c\cdot (a+b+d+e)=203 \\
d\cdot (a+b+c+e)=243\\
e\cdot (a+b+c+d)=275
\end{cases}[/tex3]

Quanto vale a soma [tex3]a+b+c+d+e[/tex3]

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[tex3]a+b+c+d+e[/tex3]

?

a) 9

b) 16

c) 25

d) 36

e) 49

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]a+b+c+d+e = s[/tex3]

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[tex3]a+b+c+d+e = s[/tex3]

inteiro
[tex3]b*(s-b) = 155 = 5 \cdot 31[/tex3]

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[tex3]b*(s-b) = 155 = 5 \cdot 31[/tex3]

logo ou b=5 e s-b = 31 ou b = 31 e s-b = 5
se b = 5 então s=36 se b=31 então s=36 de qualquer forma s=36 é a única solução possível do sistema.

você pode conferir que ela de fato satisfaz as demais equações

[Babi123]

Ótimo sousóeu, entendi perfeitamente a resolução. Fico muito Grata!

[Auto Excluído (ID:12031)]

na verdade minha solução estava incompleta agora que eu vi, poderia ter também: [tex3]b=1[/tex3]

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[tex3]b=1[/tex3]

e [tex3]s-b=155[/tex3]

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[tex3]s-b=155[/tex3]

o que daria uma nova opção pra s, que seria s=156.

Nesse caso basta considerar outra equação, como a 3: [tex3]c*(156-c) = 203[/tex3]

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[tex3]c*(156-c) = 203[/tex3]

e resolver o baskara em c:

[tex3]c^2-156c +203 = 0 \implies (c-78)^2 = 78^2-203 = 5881[/tex3]

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[tex3]c^2-156c +203 = 0 \implies (c-78)^2 = 78^2-203 = 5881[/tex3]

como 5881 não é quadrado perfeito, se s=156 teríamos c um número irracional, de novo, dá pra checar que isso não ocorre pra s=36

[Babi123]

Mas o enunciado fala que [tex3]a,b,c,d,e[/tex3]

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[tex3]a,b,c,d,e[/tex3]

são inteiros maiores que 1. acredito q sua solução estava completa.