Ensino Fundamental ⇒ Quantidade de múltiplos em intervalo Tópico resolvido

[Karinacosta1]

01. Quantos múltiplos de 2, 5 ou 7 existem entre 99 e 303?

(A) 124
(B) 132
(C) 134
(D) 169
(E) 171

[csmarcelo]

De 100 até 302, temos [tex3]\frac{302-100}{2}+1=102[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{302-100}{2}+1=102[/tex3]

múltiplos de 2.
De 100 até 300, temos [tex3]\frac{300-100}{5}+1=41[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{300-100}{5}+1=41[/tex3]

múltiplos de 5.
De 105 até 301, temos [tex3]\frac{301-105}{7}+1=29[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{301-105}{7}+1=29[/tex3]

múltiplos de 7.

De 100 até 300, temos [tex3]\frac{300-100}{10}+1=21[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{300-100}{10}+1=21[/tex3]

múltiplos de 10.
De 112 até 294, temos [tex3]\frac{294-112}{14}+1=14[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{294-112}{14}+1=14[/tex3]

múltiplos de 14.
De 105 até 280, temos [tex3]\frac{280-105}{35}+1=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{280-105}{35}+1=6[/tex3]

múltiplos de 35.

De 140 até 280, temos [tex3]\frac{280-140}{70}+1=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{280-140}{70}+1=3[/tex3]

múltiplos de 70.

Da teoria de conjuntos:

[tex3]n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)[/tex3]

[tex3]n(A\cup B\cup C)=102+41+29-21-14-6+3=134[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n(A\cup B\cup C)=102+41+29-21-14-6+3=134[/tex3]

[MatheusBorges]

csmarcelo, qual o motivo de você somar 1?

[snooplammer]

MafIl10, posso estar enganado, mas acho que o +1 é pra incluir o número que foi subtraído. Tipo

10 até 100 =100-10=90

Mas o 10 está sendo excluído, para que ele seja incluso novamente soma-se 1

[csmarcelo]

É exatamente isso que o snooplammer falou.

Quando, por exemplo, eu faço [tex3]20-13=7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]20-13=7[/tex3]

, descubro a quantidade de números que falta contar, já tendo 13, para chegarmos em 20, ou seja, 14, 15, 16... Mas, nesse caso, não é isso que eu quero. Eu quero saber quantos números existem entre 13 e 20, inclusive. Como na subtração eu já tenho de 14 até 20, basta somar 1 para incluir o 13.

Partindo da fórmula do n-ésimo termo de uma [tex3]PA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PA[/tex3]

, temos a generalização desse raciocínio.

[tex3]a_n=a_1+q(n-1)\rightarrow n=\frac{a_n-a_1}{q}+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_n=a_1+q(n-1)\rightarrow n=\frac{a_n-a_1}{q}+1[/tex3]

[TheLendaryus]

Por que se soma o 3, número de múltiplos de 70, e não subtrai junto com os demais múltiplos?

[TheLendaryus]

TheLendaryus
isso vem da teoria de conjuntos e pode ser demonstrado, mas pense assim:

tenho x elementos
vou tirar os elementos que sao divididos por 2
vou tirar os elementos que são divididos por 3
note que existem números que foram removidos duas vezes: os multiplos de 6
então preciso somar
nesse caso de dois numeros, ficaria
x elementos iniciais - n(divididos por 2) - n(divididos por 3) + n(divididos por 2 e por 3)