Ensino Médio ⇒ Inequação Exponencial com Logaritmos Tópico resolvido

[Killin]

Sendo [tex3]x>0,x \neq 1, a>0 \wedge a \neq1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>0,x \neq 1, a>0 \wedge a \neq1[/tex3]

, resolva a inequação em x: [tex3]x^{\log_ax} \leq a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{\log_ax} \leq a[/tex3]

Resposta

---

Se [tex3]a>1, \frac{1}{a}\leq x \leq a \wedge x \neq1 \\ [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a>1, \frac{1}{a}\leq x \leq a \wedge x \neq1 \\ [/tex3]

Se [tex3]0 < a < 1,\,\,\, 0 < x \leq a \vee x \geq \frac{1}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 < a < 1,\,\,\, 0 < x \leq a \vee x \geq \frac{1}{a}[/tex3]

[MatheusBorges]

Supondo a>1
Aplicando,[tex3]\log_{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{a}[/tex3]

em ambos os lados de [tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]

[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]

[tex3]\log_{a}x=t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{a}x=t[/tex3]

[tex3]t^{2}-1\leq 0\rightarrow -1\leq t\leq 1\rightarrow \log_{a}\frac{1}{a}\leq \log_{a}x\leq \log_{a}a\rightarrow \frac{1}{a}\leq x\leq a\cap x\neq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^{2}-1\leq 0\rightarrow -1\leq t\leq 1\rightarrow \log_{a}\frac{1}{a}\leq \log_{a}x\leq \log_{a}a\rightarrow \frac{1}{a}\leq x\leq a\cap x\neq 1[/tex3]

Supondo 0<a<1
Aplicando,[tex3]\log_{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{a}[/tex3]

em ambos os lados de [tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]

[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\geq \log_{a}a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\geq \log_{a}a[/tex3]

[tex3]\log_{a}x=t\rightarrow t^{2}-1\geq 0\rightarrow t\leq -1\sqcup t\geq 1\rightarrow \log_{a}x\leq \log_{a}\frac{1}{a}\sqcup \log_{a}x\geq \log_{a}a\rightarrow 0 < x \leq a \vee x \geq \frac{1}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{a}x=t\rightarrow t^{2}-1\geq 0\rightarrow t\leq -1\sqcup t\geq 1\rightarrow \log_{a}x\leq \log_{a}\frac{1}{a}\sqcup \log_{a}x\geq \log_{a}a\rightarrow 0 < x \leq a \vee x \geq \frac{1}{a}[/tex3]

[/tex3]
Como a é decimal [tex3]\frac{1}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{a}[/tex3]

é maior que 1
e como sempre inverte a desigualdade, você tem que garantir que o x é maior que 0.

[petras]

Aplicando,log_ax em ambos os lados de
[tex3]x^{log_ax} \leq a\rightarrow \log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{log_ax} \leq a\rightarrow \log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]

Como chegou a essa expressão depois de aplicar o log_ax

[Killin]

Na realidade ele aplicou [tex3]log_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_a[/tex3]

nos dois lados.

[Killin]

Supondo 0<a<1

Por que em 0<a<1 a desigualdade foi invertida depois de aplicar [tex3]log_a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_a[/tex3]

na expressão dada?

[petras]

Agora ficou possível chegar na expressão.

Condição da inequação logarítmica. Base entre 0 e 1 o sinal da inequação deve ser invertido