Ensino Médio ⇒ Razão - Esfera - Cubo - Inscrito - Circunscrito Tópico resolvido

[ismaelmat]

97.543-Calcule a razão da medida de uma aresta de um cubo inscrito para a medida de uma aresta do cubo circunscrito a uma mesma esfera.

Gabarito:

Resposta

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

/3

[petras]

Cubo Inscrito: aresta = a -->
raio da esfera(r) será igual a a/2==> r=a/2 (figura 1)

Cubo circunscrito: aresta a

Fazendo a seção teremos um triângulo formados pela diagonal do cubo (D), diagonal da face(d) e altura do Cubo(h) (figura 2)

Diagonal do cubo será igual ao dobro do raio da esfera (r), portanto:

Diagonal da face = [tex3]d=a^2+a^2\rightarrow d=a\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d=a^2+a^2\rightarrow d=a\sqrt{2}[/tex3]

Diagonal do cubo = [tex3]D^2=(a\sqrt2)^2+a^2 \rightarrow D^2=3a^2\rightarrow D=a\sqrt3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D^2=(a\sqrt2)^2+a^2 \rightarrow D^2=3a^2\rightarrow D=a\sqrt3[/tex3]

Como r = D/2 [tex3]\rightarrow r=\frac{a\sqrt3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\rightarrow r=\frac{a\sqrt3}{2}[/tex3]

Dividindo os raios do inscrito pelo circunscrito teremos [tex3]\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]