Ensino Médio ⇒ Equação afim e de circunferência Tópico resolvido

[AnaFlavia]

Bianca e Carol são atletas e frequentam um parque plano no qual podem pedalar sem ter que dividir espaço com os carros no transito da cidade. Nesse parque há duas ciclovias, uma retilínea, que pode ser descrita pela equação 2x+3y-1= 0 e uma circular cuja equação é x^2+y^2+6x+4y = 0.
As duas começaram a pedalar, Bianca optou pela ciclovia retilínea enquanto Carol seguirá pela circular. As duas começaram a pedalar mantendo velocidades constantes, considerando que as trajetórias estão no mesmo plano, sabe-se que as trajetórias

a) não se interceptam
b) se interceptam em infinitos pontos
c) se interceptam em um único ponto
d) se interceptam em três pontos distintos
e) se interceptam em dois pontos distintos

Resposta...
Letra E

[Killin]

.........up.........

[snooplammer]

Essa é uma questão de interseção

Acredito que se resolva assim:


[tex3]\begin{cases}
2x+3y=1 (I)\\
(x^{2}+6x)+(y^{2}+4y)=13(II)
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2x+3y=1 (I)\\
(x^{2}+6x)+(y^{2}+4y)=13(II)
\end{cases}[/tex3]

[tex3]2x=-3y+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x=-3y+1[/tex3]

[tex3]x=\frac{-3y+1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{-3y+1}{2}[/tex3]

Fatorando (II)

[tex3](x+3)^{2}+(y+2)^{2}=13[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+3)^{2}+(y+2)^{2}=13[/tex3]

[tex3](\frac{-3y+1}{2}+3)^{2}+(y+2)^{2}=13[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\frac{-3y+1}{2}+3)^{2}+(y+2)^{2}=13[/tex3]

Resolvendo essa equação, irá achar y=1

Substituindo em (I)

[tex3]2x+3=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x+3=1[/tex3]

[tex3]x=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-1[/tex3]

Ponto de encontro (-1,1)

Acredito que o gabarito esteja errado. Verifiquei se as contas estavam certas quando plotei os gráficos e o único ponto de interseção é (-1,1)

[Killin]

cheguei nisso também, mas de uma forma diferente...
coloquei as equações no geogebra, e realmente, elas só se interceptam em um ponto. então acredito que o gabarito esteja equivocado...

[snooplammer]

cheguei nisso também, mas de uma forma diferente...

Como foi?

[Killin]

transformei a equação da circunferência dada na equação reduzida (x+3)^2+(y+2)^2=13, isolei y nas duas e igualei.
mas acabou sendo bem mais trabalhoso do que a maneira que vc fez...

[LucasPinafi]

Usando o (x+3)² + (y+2)² = 13 => C (3, 2)
d(C, r) = |6+6-1|/sqrt(13) = 11/sqrt(13) <\sqrt(13);
realmente, há 2 intersecções. Plotei aqui no Geo. e confirma a hipótese de 2 intersecções... oO

[Killin]

mas o centro C não seria C(-3,-2) ?

[snooplammer]

Usando o (x+3)^2 + (y+2)^2 = 13 => C (3, 2)
d(C, r) = |6+6-1|/sqrt(13) = 11/sqrt(13) <\sqrt(13);
realmente, há 2 intersecções. Plotei aqui no Geo. e confirma a hipótese de 2 intersecções... oO

geogebra-export.png (142.29 KiB) Exibido 1061 vezes

Plotei no geogebra e achei isso. Como o colega acima disse o C é (-3,-2)

[snooplammer]

Logo a distância entre o centro e a reta seria

|-6-6-1/[tex3]\sqrt{13}| = \sqrt{13}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{13}| = \sqrt{13}[/tex3]