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[tex3]Q(x)=n(x+1)-(10^{n-1}+...+10)[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Fórmula para o número de algarismos Tópico resolvido
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leomaxwell 
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Out 2017
20
09:06
Fórmula para o número de algarismos
Encontre uma fórmula para descrever o número [tex3]Q(x)[/tex3]
de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de [tex3]0[/tex3]
a [tex3]x[/tex3]
, no sistema decimal, onde [tex3]n[/tex3]
é o número de algarismos de [tex3]x[/tex3]
[tex3]Q(x)=n(x+1)-(10^{n-1}+...+10)[/tex3]
[tex3]Q(x)=n(x+1)-(10^{n-1}+...+10)[/tex3]
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Out 2017
20
16:24
Re: Fórmula para o número de algarismos
Inicialmente, realizei o produto [tex3]nx[/tex3]
.
Isso nos daria a quantidade de algarismos de 1 até [tex3]x[/tex3] se todos os números tivessem [tex3]n[/tex3] algarismos, o que não é o caso.
Precisamos, agora, de duas coisas:
1) incluir mais um algarismo por conta do zero.
2) retirar os algarismos em excesso de cada grupo de números com menos algarismos que o do de [tex3]x[/tex3] .
Sejam [tex3]a_k[/tex3] e [tex3]b_k[/tex3] , respectivamente, o menor e maior números de [tex3]k[/tex3] algarismos, com [tex3]1\leq k<n[/tex3] .
Para cada um desses números, precisamos retirar [tex3]n-k[/tex3] algarismos.
Ou seja, assumindo [tex3]n=5[/tex3] , precisamos retirar:
1) um algarismo para cada um de todos os números de quatro algarismos.
2) dois algarismos para cada um de todos os números de três algarismos.
2) três algarismos para cada um de todos os números de dois algarismos.
2) quatro algarismos para cada um de todos os números de um algarismo.
Colocando em somatório:
[tex3]\sum_{k=n-1}^1(n-k)(b_k-a_k+1)[/tex3]
O problema é que não dá para ficar com [tex3]a_k[/tex3] e [tex3]b_k[/tex3] na fórmula. Então temos que pensar em uma forma de removê-los.
Ainda supondo [tex3]n=5[/tex3] , o somatório acima fica da seguinte forma:
[tex3]1(b_4-a_4+1)+2(b_3-a_3+1)+3(b_2-a_2+1)+4(b_1-a_1+1)[/tex3]
Reorganizando as variáveis:
[tex3]\small{\color{red}[(b_4-a_4+1)+(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{blue}[(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{magenta}[(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{green}(b_1-a_1+1)}[/tex3]
Repare que:
1) [tex3]\color{red}(b_4-a_4+1)+(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_4=9999[/tex3] , ou seja [tex3]10^{4=k}-1[/tex3] .
2) [tex3]\color{blue}(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_3=999[/tex3] , ou seja [tex3]10^{3=k}-1[/tex3] .
3) [tex3]\color{magenta}(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_2=99[/tex3] , ou seja [tex3]10^{2=k}-1[/tex3] .
4) [tex3]\color{green}b_1-a_1+1[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_1=9[/tex3] , ou seja [tex3]10^{1=k}-1[/tex3] .
Logo, podemos substituir [tex3]\sum_{k=n-1}^1(n-k)(b_k-a_k+1)[/tex3] por [tex3]\sum_{i=1}^{n-1}(10^i-1)[/tex3] .
E, com isso, chegamos fórmula:
[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}(10^i-1)+1[/tex3]
[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}10^i-\sum_{i=1}^{n-1}-1+1[/tex3]
[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}10^i+(n-1)+1[/tex3]
[tex3]n(x+1)-\sum_{i=1}^{n-1}10^i[/tex3]
Isso nos daria a quantidade de algarismos de 1 até [tex3]x[/tex3] se todos os números tivessem [tex3]n[/tex3] algarismos, o que não é o caso.
Precisamos, agora, de duas coisas:
1) incluir mais um algarismo por conta do zero.
2) retirar os algarismos em excesso de cada grupo de números com menos algarismos que o do de [tex3]x[/tex3] .
Sejam [tex3]a_k[/tex3] e [tex3]b_k[/tex3] , respectivamente, o menor e maior números de [tex3]k[/tex3] algarismos, com [tex3]1\leq k<n[/tex3] .
Para cada um desses números, precisamos retirar [tex3]n-k[/tex3] algarismos.
Ou seja, assumindo [tex3]n=5[/tex3] , precisamos retirar:
1) um algarismo para cada um de todos os números de quatro algarismos.
2) dois algarismos para cada um de todos os números de três algarismos.
2) três algarismos para cada um de todos os números de dois algarismos.
2) quatro algarismos para cada um de todos os números de um algarismo.
Colocando em somatório:
[tex3]\sum_{k=n-1}^1(n-k)(b_k-a_k+1)[/tex3]
O problema é que não dá para ficar com [tex3]a_k[/tex3] e [tex3]b_k[/tex3] na fórmula. Então temos que pensar em uma forma de removê-los.
Ainda supondo [tex3]n=5[/tex3] , o somatório acima fica da seguinte forma:
[tex3]1(b_4-a_4+1)+2(b_3-a_3+1)+3(b_2-a_2+1)+4(b_1-a_1+1)[/tex3]
Reorganizando as variáveis:
[tex3]\small{\color{red}[(b_4-a_4+1)+(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{blue}[(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{magenta}[(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{green}(b_1-a_1+1)}[/tex3]
Repare que:
1) [tex3]\color{red}(b_4-a_4+1)+(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_4=9999[/tex3] , ou seja [tex3]10^{4=k}-1[/tex3] .
2) [tex3]\color{blue}(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_3=999[/tex3] , ou seja [tex3]10^{3=k}-1[/tex3] .
3) [tex3]\color{magenta}(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_2=99[/tex3] , ou seja [tex3]10^{2=k}-1[/tex3] .
4) [tex3]\color{green}b_1-a_1+1[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_1=9[/tex3] , ou seja [tex3]10^{1=k}-1[/tex3] .
Logo, podemos substituir [tex3]\sum_{k=n-1}^1(n-k)(b_k-a_k+1)[/tex3] por [tex3]\sum_{i=1}^{n-1}(10^i-1)[/tex3] .
E, com isso, chegamos fórmula:
[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}(10^i-1)+1[/tex3]
[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}10^i-\sum_{i=1}^{n-1}-1+1[/tex3]
[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}10^i+(n-1)+1[/tex3]
[tex3]n(x+1)-\sum_{i=1}^{n-1}10^i[/tex3]
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Lacerda142857 
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Nov 2017
04
20:32
Re: Fórmula para o número de algarismos
A quantidade Q de 1 até "x" e obtida por:
Q = (x + 1) x k - (111 .... 111); "k" 1's
Q = (x + 1) x k - (111 .... 111); "k" 1's
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leomaxwell
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Nov 2017
05
21:00
Re: Fórmula para o número de algarismos
Lacerda142857, como chegou a essa conclusão?
All you touch and all you see is all your life will ever be...
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Lacerda142857
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Nov 2017
05
21:36
Re: Fórmula para o número de algarismos
Q = (x + 1) x k - (111 .... 111); "k" 1's; obs.: k é quantidade d algarismos de x.
Demonstrei esta fórmula no livro que fiz:
Praticando a Aritmética
Um abraço.
Demonstrei esta fórmula no livro que fiz:
Praticando a Aritmética
Um abraço.
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Lacerda142857
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Nov 2017
05
21:45
Re: Fórmula para o número de algarismos
E ainda ...
Se x tiver 2 alg. Q = 2x - 9
Se x tiver 3 alg. Q = 3x - 108
Se x tiver 4 alg. Q = 4x - 1.107 ,,, etc
Se x tiver 2 alg. Q = 2x - 9
Se x tiver 3 alg. Q = 3x - 108
Se x tiver 4 alg. Q = 4x - 1.107 ,,, etc
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