1. Suponha que {v1,...,vn} é um conjunto linearmente independente de um espaço vetorial. Mostrar que {a1v1,...,anvn} também é linearmente independente, desde que os ai sejam todos não nulos.
2. Considere o conjunto {a1v1,...,anvn} do exercício anterior. O que acontece se um dos ai for zero?
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear (Dependencia Linear) Tópico resolvido
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Jan 2020
11
13:16
Re: Álgebra Linear (Dependencia Linear)
[tex3]\{v_1,...,v_n\}[/tex3]
é linearmente independente, então temos que [tex3]\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+...+\lambda_nv_n=0 \iff\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0[/tex3]
Quero provar que o conjunto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com [tex3]a_i\ne0[/tex3] [tex3]\forall i=1,2,...,n[/tex3] é linearmente independente.
Sejam [tex3]\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\in\mathbb R[/tex3] tais que:
[tex3]\mu_1(a_1v_1)+\mu_2(a_2v_2)+...+\mu_n(a_nv_n)=0[/tex3] quero provar que [tex3]\mu_1=\mu_2=...=\mu_n=0[/tex3]
[tex3](\mu_1a_1)v_1+(\mu_2a_2)v_2+...+(\mu_na_n)v_n=0[/tex3]
Como [tex3]\{v_1,...,v_n\}[/tex3] é linearmente independente temos que [tex3]\mu_1a_1=\mu_2a_2=...=\mu_na_n=0[/tex3]
[tex3]\mu_1a_1=0[/tex3] temos que [tex3]a_1\ne0\implies\mu_1=0[/tex3]
[tex3]\mu_2a_2=0[/tex3] temos que [tex3]a_2\ne0\implies\mu_2=0[/tex3]
[tex3].\\.\\.[/tex3]
[tex3]\mu_na_n=0[/tex3] temos que [tex3]a_n\ne0\implies\mu_n=0[/tex3]
Dessa forma temos que [tex3]\mu_1=\mu_2=...=\mu_n=0[/tex3] e portanto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com [tex3]a_i\ne0[/tex3] [tex3]\forall i=1,2,...,n[/tex3] é linearmente independente.
Agora quero provar que o conjunto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com algum [tex3]a_i=0[/tex3] é linearmente dependente.
Sem perda de generalidade, suponhamos [tex3]a_1=0[/tex3]
[tex3]a_1=0\implies a_1v_1=0[/tex3]
Dessa forma, temos que [tex3]0v_i=a_1v_1[/tex3] , [tex3]\forall i=2,3,...,n[/tex3] e portanto [tex3]a_1v_1[/tex3] é combinação linear dos demais vetores do conjunto, logo o conjunto é linearmente dependente.
Espero ter ajudado
.
Quero provar que o conjunto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com [tex3]a_i\ne0[/tex3] [tex3]\forall i=1,2,...,n[/tex3] é linearmente independente.
Sejam [tex3]\mu_1,\mu_2,...,\mu_n\in\mathbb R[/tex3] tais que:
[tex3]\mu_1(a_1v_1)+\mu_2(a_2v_2)+...+\mu_n(a_nv_n)=0[/tex3] quero provar que [tex3]\mu_1=\mu_2=...=\mu_n=0[/tex3]
[tex3](\mu_1a_1)v_1+(\mu_2a_2)v_2+...+(\mu_na_n)v_n=0[/tex3]
Como [tex3]\{v_1,...,v_n\}[/tex3] é linearmente independente temos que [tex3]\mu_1a_1=\mu_2a_2=...=\mu_na_n=0[/tex3]
[tex3]\mu_1a_1=0[/tex3] temos que [tex3]a_1\ne0\implies\mu_1=0[/tex3]
[tex3]\mu_2a_2=0[/tex3] temos que [tex3]a_2\ne0\implies\mu_2=0[/tex3]
[tex3].\\.\\.[/tex3]
[tex3]\mu_na_n=0[/tex3] temos que [tex3]a_n\ne0\implies\mu_n=0[/tex3]
Dessa forma temos que [tex3]\mu_1=\mu_2=...=\mu_n=0[/tex3] e portanto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com [tex3]a_i\ne0[/tex3] [tex3]\forall i=1,2,...,n[/tex3] é linearmente independente.
Agora quero provar que o conjunto [tex3]\{a_1v_1,...,a_nv_n\}[/tex3] com algum [tex3]a_i=0[/tex3] é linearmente dependente.
Sem perda de generalidade, suponhamos [tex3]a_1=0[/tex3]
[tex3]a_1=0\implies a_1v_1=0[/tex3]
Dessa forma, temos que [tex3]0v_i=a_1v_1[/tex3] , [tex3]\forall i=2,3,...,n[/tex3] e portanto [tex3]a_1v_1[/tex3] é combinação linear dos demais vetores do conjunto, logo o conjunto é linearmente dependente.
Espero ter ajudado
.
Editado pela última vez por deOliveira em 11 Jan 2020, 13:18, em um total de 1 vez.
Saudações.
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