Ensino Superior ⇒ Sólido de revolução Tópico resolvido

[Ricardo95]

Dê a integral que calcula o volume do sólido de revolução em torno do eixo x=-1 da região entre os gráficos de y=3+2x-[tex3]x^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}[/tex3]

e y=3-x usando
o Método dos Discos.

[jedi]

primeiro achamos os pontos de intersecção das duas curvas

[tex3]3+2x-x^2=3-x[/tex3]

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[tex3]3+2x-x^2=3-x[/tex3]

[tex3]x^2-3x=0[/tex3]

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[tex3]x^2-3x=0[/tex3]

[tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

e [tex3]x=3[/tex3]

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[tex3]x=3[/tex3]

então será este o intervalo de integração em x. Como o eixo de rotação é x=-1 então o raio de cada disco será r=x-(-1)=x+1
para calcularmos o volume entre as curvas calculamos o volume gerado pela curva externa e subtraímos o volume gerado pela curva interna

[tex3]\int_{0}^{3}2\pi(x+1).(3+2x-x^2)dx-\int_{0}^{3}2\pi(x+1).(3-x)dx[/tex3]

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[tex3]\int_{0}^{3}2\pi(x+1).(3+2x-x^2)dx-\int_{0}^{3}2\pi(x+1).(3-x)dx[/tex3]

[Ricardo95]

Obrigado, Jedi, mas esse não é o método das cascas cilíndricas?
Acho que o dos discos é o que usa a fórmula [tex3]\pi \int\limits_{a}^{b}(f(x))^{2}dx[/tex3]

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[tex3]\pi \int\limits_{a}^{b}(f(x))^{2}dx[/tex3]

Tentei plotar os gráficos para ter uma noção do que fazer, mas parece que terei que dividir em várias integrais.

[jedi]

Pois é

Porém esse método é usual quando temos uma rotação em torno de um eixo paralelo ao eixo x, para utilizarmos esse método nesse caso teríamos que fazer a integração em y.

[tex3]3+2x-x^2-y=0[/tex3]

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[tex3]3+2x-x^2-y=0[/tex3]

[tex3]x=\frac{-2-\sqrt{4+12-4y}}{-2}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{-2-\sqrt{4+12-4y}}{-2}[/tex3]

[tex3]x=1+\sqrt{4-y}[/tex3]

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[tex3]x=1+\sqrt{4-y}[/tex3]

e

[tex3]y=3-x[/tex3]

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[tex3]y=3-x[/tex3]

[tex3]x=3-y[/tex3]

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[tex3]x=3-y[/tex3]

[tex3]\pi\int_{0}^{3}(1-\sqrt{4-y}-(-1))^2dy-\pi\int_{0}^{3}(3-y-(-1))^2dy[/tex3]

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[tex3]\pi\int_{0}^{3}(1-\sqrt{4-y}-(-1))^2dy-\pi\int_{0}^{3}(3-y-(-1))^2dy[/tex3]