Boa noite, Gauss... eu sei que o seu post já é bem antigo (tem quase 2 anos kkkkk) e já até tem resposta, mas eu estava aqui navegando pelos tópicos (meio entediado, etc kkkk) e quis postar uma outra resposta para esse... sei que você só pediu o item [tex3]c)[/tex3]
, mas vou resolver desde o começo para não dar a impressão de que estou "pulando" algo.
Tenho um esquema (bem confuso, eu sei! mas espacial é assim mesmo kkkk e eu sou ruim no Illustrator, etc...)
[tex3]a)[/tex3]
Chamando de [tex3]Y'[/tex3]
a projeção de [tex3]Y[/tex3]
no lado [tex3]CD[/tex3]
. [tex3]YY' \ = \ CG\ = \ DH \ = \ a[/tex3]
Da mesma forma, [tex3]XY' \ = \ AD \ = \ BC \ = a[/tex3]
Como [tex3]XY' \ \perp \ YY'[/tex3]
, então :
[tex3]XY^2 \ = \ XY'^{\ 2} + YY'^{\ 2}[/tex3]
[tex3]XY^2 \ = \ a^2 \ + a^2[/tex3]
[tex3]XY\ = a \ . \ \sqrt{2}[/tex3]
[tex3]b)[/tex3]
A gente pode perceber que :
[tex3]XC \ = \ CY \ = \ YE \ = EX[/tex3]
...
Aplicando Pitágoras em, por exemplo, [tex3]\Delta AEX[/tex3]
:
[tex3]AE^2 \ + \ AX^2 \ = \ EX^2 [/tex3]
[tex3]a^2 + (\frac{a}{2})^2 \ = \ EX^2[/tex3]
[tex3]EX \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ \rightarrow [/tex3]
Logo : [tex3]YE \ = \ CY \ = \ XC \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
Agora, veja o segmento azul [tex3]EC[/tex3]
do desenho. Ele é a diagonal do cubo.
[tex3]EC \ = \ a \ . \ \sqrt{3}[/tex3]
Os [tex3]\Delta XCE[/tex3]
e [tex3]\Delta YCE[/tex3]
são iguais. Logo :
[tex3]A(XCYE) \ = \ \Delta XCE \ + \Delta YCE[/tex3]
[tex3]A(XCYE) \ = \ 2 \ . \ \Delta XCE[/tex3]
[tex3]\Delta XCE[/tex3]
está destacado. Lei do cosseno para o ângulo [tex3]\Psi[/tex3]
:
[tex3]EC^2 \ = \ XE^2 \ + \ CX^2 \ -\ 2 \ . \ XE \ . \ CX \ . \ cos(\Psi) [/tex3]
[tex3](a \ . \ \sqrt{3})^2 \ = \ (a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2})^2 \ + \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2}^2 \ - \ 2 \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ cos(\Psi)[/tex3]
Fazendo essa continha, você chega que :
[tex3]cos(\Psi) \ = \ \frac{-1}{5}[/tex3]
[tex3]sen(\Psi)^2 \ + \ cos(\Psi)^2 \ = \ 1 \ \rightarrow[/tex3]
Como [tex3]cos(\Psi) \ = \ \frac{-1}{5}[/tex3]
:
[tex3]sen(\Psi) \ = \ + \ \frac{2 \ . \ \sqrt{6}}{5}[/tex3]
(já que [tex3]\Psi \ < \ \pi[/tex3]
)
[tex3]A(XCYE) \ = \ 2 \ . \ \Delta XCE[/tex3]
[tex3]A(XCYE) \ = \ 2 \ . \ \frac{XE \ . \ XC \ . \ sen(\Psi)}{2}[/tex3]
[tex3]A(XCYE) \ = \ XE \ . \ XC \ . \ sen(\Psi)[/tex3]
[tex3]A(XCYE) \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ \frac{2 \ . \ \sqrt{6}}{5} [/tex3]
[tex3]A(XCYE) \ = \ a^2 \ . \ \frac{\sqrt{6}}{2} \ \rightarrow [/tex3]
Área da base da pirâmide [tex3]XCYEF[/tex3]
!
[tex3]c)[/tex3]
Ainda no [tex3]\Delta XCE[/tex3]
, vamos calcular a altura relativa [tex3]h'[/tex3]
ao lado [tex3]CE[/tex3]
. Para isso, usamos a área :
[tex3]\frac{XE \ . \ XC \ . \ sen(\Psi)}{2} \ = \ \frac{EC \ . \ h'}{2}[/tex3]
[tex3]a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2} \ . \ \frac{2 \ . \ \sqrt{6}}{5} \ = \ a \ . \ \sqrt{3} \ . \ h'[/tex3]
[tex3]h' \ = \ a \ . \frac{\sqrt{2}}{2} \ \rightarrow [/tex3]
altura relativa ao lado [tex3]CE[/tex3]
!
[tex3]h'[/tex3]
é o segmento vermelho do desenho.
Como a altura da pirâmide [tex3]H \ (pir) \ \perp \ XYCE[/tex3]
e esta altura é fincada no "centro" da base (onde [tex3]h'[/tex3]
também é fincada), podemos criar mais um Pitágoras (o destacado no desenho). Veja que ele é composto por :
[tex3]\rightarrow \ h'[/tex3]
;
[tex3]\rightarrow \ H \ (pir)[/tex3]
(catetos)
[tex3]\rightarrow \ XF[/tex3]
(hipotenusa)
Veja no desenho que [tex3]XF \ = \ XE \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]
[tex3]XF^2 \ = \ H \ (pir) ^2 \ + \ h' ^{\ 2}[/tex3]
[tex3](a \ . \ \frac{\sqrt{5}}{2})^2 \ = \ H \ (pir) ^2 \ + \ (a \ . \frac{\sqrt{2}}{2})^2[/tex3]
[tex3]H \ (pir) \ = \ a \ . \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ \rightarrow[/tex3]
Altura da pirâmide !
Por fim, [tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{A(XCYE) \ . \ H \ (pir)}{3} [/tex3]
[tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{a^2 \ . \ \frac{\sqrt{6}}{2} \ . \ a \ . \ \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} [/tex3]
[tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{a^2 \ . \ \cancel{\sqrt{3}} \ . \ \sqrt{2} \ . \ a \ . \ \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{3} \ . \ 2 \ . \ 2} [/tex3]
[tex3]V(XCYEF) \ = \ \frac{a^3 \ . \ \sqrt{2}}{4} \ \rightarrow[/tex3]
Volume da pirâmide !
Penso que é isso... rsrsrs... não sei se pode sair aí respondendo tópicos antigos ou se isso infringe as regras do fórum (sou relativamente novo aqui)
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
)
