Física II ⇒ Movimento Harmônico Simples

[8Orwell4]

Questão retirada do livro Física II, Sears e Zemansky, 10ª edição.

Um objeto executa um movimento harmônico simples com período de 1200 s e amplitude igual a 0,600 m. Para [tex3]t = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t = 0[/tex3]

o objeto está em [tex3]x = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 0[/tex3]

. Qual é a distância entre o objeto e a posição de equilíbrio quando [tex3]t = 0,480 s[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t = 0,480 s[/tex3]

?

Não consegui chegar à resposta correta (0,353 m), poderiam me ajudar, por favor?

[Brunoranery]

Bom dia!
[tex3](x)t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t[/tex3]

= A [tex3]\cos [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos [/tex3]

([tex3]\omega t + \varphi o[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega t + \varphi o[/tex3]

)

Essa é a equação da função horária na ondulatória/MHS.
Já vou substituir pelo valor da velocidade angular.
[tex3]\omega = \frac{2\pi }{T}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega = \frac{2\pi }{T}[/tex3]

[tex3]\omega = \frac{2\pi }{1200}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega = \frac{2\pi }{1200}[/tex3]

Substituindo os valores:

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{\pi }{600}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{600}[/tex3]

t + [tex3]\frac{3\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\pi }{2}[/tex3]

)
A fase inicial é [tex3]\frac{3\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\pi }{2}[/tex3]

por ele partir como se fosse da origem no gráfico [tex3](x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)[/tex3]

x [tex3](t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](t)[/tex3]

já que ele diz: em t = 0, x = 0.

Temos:
[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{\pi }{600}x0,48 + \frac{3\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{600}x0,48 + \frac{3\pi }{2}[/tex3]

)
[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{\ 0,48 \pi }{600} + \frac{3\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\ 0,48 \pi }{600} + \frac{3\pi }{2}[/tex3]

)
[tex3](x)t [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t [/tex3]

= [tex3]0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{900,48\pi }{600}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{900,48\pi }{600}[/tex3]

)

Agora, é só resolver o cosseno e multiplicar por 0,6. Como descobriremos a posição dele nesse tempo, basta subtrair por 0, pois a posição inicial é a relacionada com t = 0, mas ele diz que em t = 0, x = 0. Logo, o resultado vai ser a diferença. OBS: ele oscila de -0.6 a + 0.6.

PS: Não dei o resultado, pois a questão é obrigada a fornecer o cosseno do ângulo caso seja diferente dos ângulos 30,45,60 ou seus correspondentes em outros quadrantes. O resultado pode variar de questão para questão, dependendo de quantas casas decimais, do cosseno, eles irão considerar.
É basicamente isso. Esse é o esqueleto de qualquer cálculo que envolva deslocamento, tempo, amplitude e período.

[8Orwell4]

Bom dia!
[tex3](x)t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t[/tex3]

= A [tex3]\cos [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos [/tex3]

([tex3]\omega t + \varphi o[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega t + \varphi o[/tex3]

)

Essa é a equação da função horária na ondulatória/MHS.
Já vou substituir pelo valor da velocidade angular.
[tex3]\omega = \frac{2\pi }{T}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega = \frac{2\pi }{T}[/tex3]

[tex3]\omega = \frac{2\pi }{1200}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\omega = \frac{2\pi }{1200}[/tex3]

Substituindo os valores:

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{\pi }{600}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{600}[/tex3]

t + [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

)
A fase inicial é [tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{2}[/tex3]

por ele partir como se fosse da origem no gráfico [tex3](x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)[/tex3]

x [tex3](t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](t)[/tex3]

já que ele diz: em t = 0, x = 0.

Temos:
[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{\pi }{600}x0,48 + \frac{\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi }{600}x0,48 + \frac{\pi }{2}[/tex3]

)
[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{\ 0,48 \pi }{600} + \frac{\pi }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\ 0,48 \pi }{600} + \frac{\pi }{2}[/tex3]

)
(x)t = [tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x)t = 0,6cos[/tex3]

([tex3]\frac{300,48\pi }{600}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{300,48\pi }{600}[/tex3]

)

Agora, é só resolver o cosseno e multiplicar por 0,6. Como descobriremos a posição dele nesse tempo, basta subtrair por 0, pois a posição inicial é a relacionada com t = 0, mas ele diz que em t = 0, x = 0. Logo, o resultado vai ser a diferença. OBS: ele oscila de -0.6 a + 0.6.

PS: Não dei o resultado, pois a questão é obrigada a fornecer o cosseno do ângulo caso seja diferente dos ângulos 30,45,60 ou seus correspondentes em outros quadrantes. O resultado pode variar de questão para questão, dependendo de quantas casas decimais, do cosseno, eles irão considerar.
É basicamente isso. Esse é o esqueleto de qualquer cálculo que envolva deslocamento, tempo, amplitude e período.

Por que você usou [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

para representar a posição inicial? Seria como se ele estivesse em um ângulo de 90º?

[Brunoranery]

Eu editei o ângulo. É o seguinte:

ttb.png (6.09 KiB) Exibido 2535 vezes

Ficou horroroso, mas vai dar para você entender.
Fase inicial é como se fosse o ângulo de início. Em baixo, coloquei o eixo de deslocamento, em cima, coloquei a localidade do ciclo trigonométrico correspondente. Aliás, a função do MHS é função seno ou cosseno, e essas funções vêm do ciclo triconométrico.

Nessa questão ele diz que começa do X0, logo, só pode ser [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2 ou 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2. O problema é que é facil confundí-los. Quando você parte do 0 e vai subindo, naquele gráfico de funções, ele vai ser igual a 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2, se parte do zero e vai descendo, [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2.
OBS: Estou falando daquele gráfico em onda do seno e do cosseno.

Nesse caso, como quando você aumenta o t, você tende a ir para o +A, logo, no gráfico, ele sobe; por conseguinte é o 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2. Depois assista um video, pois esse conteúdo é muito visual. A mais danada nessa função horária é a fase inicial, pois se trata de enxergar o ciclo trigonométrico.

[8Orwell4]

Eu editei o ângulo. É o seguinte:

ttb.png

Ficou horroroso, mas vai dar para você entender.
Fase inicial é como se fosse o ângulo de início. Em baixo, coloquei o eixo de deslocamento, em cima, coloquei a localidade do ciclo trigonométrico correspondente. Aliás, a função do MHS é função seno ou cosseno, e essas funções vêm do ciclo triconométrico.

Nessa questão ele diz que começa do X0, logo, só pode ser [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2 ou 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2. O problema é que é facil confundí-los. Quando você parte do 0 e vai subindo, naquele gráfico de funções, ele vai ser igual a 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2, se parte do zero e vai descendo, [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2.
OBS: Estou falando daquele gráfico em onda do seno e do cosseno.

Nesse caso, como quando você aumenta o t, você tende a ir para o +A, logo, no gráfico, ele sobe; por conseguinte é o 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2. Depois assista um video, pois esse conteúdo é muito visual. A mais danada nessa função horária é a fase inicial, pois se trata de enxergar o ciclo trigonométrico.

Desculpe, mas ainda não peguei um detalhe: se é [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3]

por que você marcou na fórmula como [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

?

[Brunoranery]

Eu editei o ângulo. É o seguinte:

ttb.png

Ficou horroroso, mas vai dar para você entender.
Fase inicial é como se fosse o ângulo de início. Em baixo, coloquei o eixo de deslocamento, em cima, coloquei a localidade do ciclo trigonométrico correspondente. Aliás, a função do MHS é função seno ou cosseno, e essas funções vêm do ciclo triconométrico.

Nessa questão ele diz que começa do X0, logo, só pode ser [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2 ou 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2. O problema é que é facil confundí-los. Quando você parte do 0 e vai subindo, naquele gráfico de funções, ele vai ser igual a 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2, se parte do zero e vai descendo, [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2.
OBS: Estou falando daquele gráfico em onda do seno e do cosseno.

Nesse caso, como quando você aumenta o t, você tende a ir para o +A, logo, no gráfico, ele sobe; por conseguinte é o 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2. Depois assista um video, pois esse conteúdo é muito visual. A mais danada nessa função horária é a fase inicial, pois se trata de enxergar o ciclo trigonométrico.

Desculpe, mas ainda não peguei um detalhe: se é [tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\pi}{2}[/tex3]

por que você marcou na fórmula como [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

?

Como eu disse no início da mensagem. Já editei o ângulo. Fiz rapidamente sem desenhar o ciclo, mas percebi que no gráfico a curva se inicia subindo e corrigi. Pode ver que agora está 3 [tex3]\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi [/tex3]

/2