Ensino Fundamental ⇒ Triângulo equilátero Tópico resolvido

[Lucabral]

Na figura,estão representadas as casas de Almeida (A),Bruno(B) e Cristian (C),sendo a distância de uma a outra igual a 200 metros.

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Um ponto de abastecimento de água foi construído em um ponto arbitrário (P), e um caminhão-pipa deverá fazer o seguinte trajeto em ocasiões de falta de água:
Parte do ponto P e vai até a estrada AB usando o caminho mais curto possível.Em seguida,retorna a P para reabastecer e faz o mesmo processo até a estrada AC.Logo depois,volta para P e segue da mesma maneira para a estrada BC até que,finalmente,finaliza seu trajeto no posto de abastecimento.
Se o caminhão-pipa executar o trajeto citado uma única vez,qual será a distância aproximada,em metros,a ser percorrida por ele?
Dado:considere [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

=1,7

Resposta

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340

[petras]

Chamando L o lado do triângulo equilátero--> L=200

[tex3]S\Delta _{ABC}=S\Delta _{APC}+S\Delta _{CPB}+S\Delta _{PBA}[/tex3]

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[tex3]S\Delta _{ABC}=S\Delta _{APC}+S\Delta _{CPB}+S\Delta _{PBA}[/tex3]

[tex3]S\Delta _{ABC} = \frac{L^2\sqrt3}{4}=\frac{200^2\sqrt3}{4}10000\sqrt3[/tex3]

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[tex3]S\Delta _{ABC} = \frac{L^2\sqrt3}{4}=\frac{200^2\sqrt3}{4}10000\sqrt3[/tex3]

[tex3]S\Delta _{APC} = \frac{200.PO}{2}=100PO[/tex3]

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[tex3]S\Delta _{APC} = \frac{200.PO}{2}=100PO[/tex3]

[tex3]S\Delta _{CPB} = \frac{200.PM}{2}=100PM[/tex3]

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[tex3]S\Delta _{CPB} = \frac{200.PM}{2}=100PM[/tex3]

[tex3]S\Delta _{PBA} = \frac{200.PN}{2}=100PN[/tex3]

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[tex3]S\Delta _{PBA} = \frac{200.PN}{2}=100PN[/tex3]

[tex3]10000\sqrt3=100PO+100PM+100PN\rightarrow 10000\sqrt3=100(PO+PM+PN)\rightarrow PO+PM+PM = 100\sqrt3[/tex3]

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[tex3]10000\sqrt3=100PO+100PM+100PN\rightarrow 10000\sqrt3=100(PO+PM+PN)\rightarrow PO+PM+PM = 100\sqrt3[/tex3]

Como ele percorreu ida e volta cada trecho teremos que a distância percorrida = 2(100 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

) = 200 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

=200.1,7=340m

[csmarcelo]

No triângulo equilátero, todas as alturas medem [tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{l\sqrt{3}}{2}[/tex3]

.

Além disso, todas as cevianas notáveis coincidem. Logo, podemos tratar as alturas em questão como medianas.

A parte da mediana que vai do baricentro a um dos lados dos triângulo mede um terço do seu total; nesse caso [tex3]\frac{\frac{200\sqrt{3}}{2}}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{\frac{200\sqrt{3}}{2}}{3}[/tex3]

.

Como ele percorrerá duas vezes cada uma dessas partes das três medianas, o total percorrido será igual a [tex3]2\cdot3\cdot\frac{\frac{200\sqrt{3}}{2}}{3}=200\sqrt{3}=340[/tex3]

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[tex3]2\cdot3\cdot\frac{\frac{200\sqrt{3}}{2}}{3}=200\sqrt{3}=340[/tex3]

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