IME / ITA ⇒ (Farias Brito - prof MM) Círculos Tópico resolvido

[Gu178]

Na figura a seguir, a tangente interna comum aos círculos O e O', de raios [tex3]r<R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r<R[/tex3]

, os tangencia nos pontos P e Q e intersecta as tangentes externas comuns a O e O' nos pontos A e B. Analise as informações:

jt5odzr6.png (63.01 KiB) Exibido 1268 vezes

A) PB<AQ
B) OÂO'<90°
C) OO' divide AB ao meio
D) PA*PB=Rr

[Ittalo25]

A) PB<AQ

Marcando os outros pontos de tangência:

Pelo teorema do bico:

[tex3]\overline{AP} = \overline{AE}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AP} = \overline{AE}[/tex3]

[tex3]\overline{AQ}+\overline{QP} = \overline{AE}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{AQ}+\overline{QP} = \overline{AE}[/tex3]

Também:

[tex3]\overline{BQ} = \overline{BC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{BQ} = \overline{BC}[/tex3]

[tex3]\overline{PB}+\overline{QP} = \overline{BC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB}+\overline{QP} = \overline{BC}[/tex3]

Também:

[tex3]\overline{DC} = \overline{EF}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{DC} = \overline{EF}[/tex3]

[tex3]\overline{DB}+\overline{BC} = \overline{EA}+\overline{AF}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{DB}+\overline{BC} = \overline{EA}+\overline{AF}[/tex3]

[tex3]\overline{PB}+\overline{BQ} = \overline{AP}+\overline{AQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB}+\overline{BQ} = \overline{AP}+\overline{AQ}[/tex3]

[tex3]\overline{PB}+\overline{PQ}+\overline{PB} = \overline{AQ}+\overline{PQ} +\overline{AQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB}+\overline{PQ}+\overline{PB} = \overline{AQ}+\overline{PQ} +\overline{AQ}[/tex3]

[tex3]\overline{PB} =\overline{AQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB} =\overline{AQ}[/tex3]

Os segmentos citados são iguais

[Ittalo25]

B) OÂO'<90°

Esses triângulos retângulos formados são congruentes dois a dois, sendo assim os segmentos vermelho e preto são bissetrizes, logo:

[tex3]x+x+y+y = 180^o [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+x+y+y = 180^o [/tex3]

[tex3]x+y= 90^o [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+y= 90^o [/tex3]

[tex3]<OAO'= 90^o [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]<OAO'= 90^o [/tex3]

[Ittalo25]

C) OO' divide AB ao meio

Já sabemos que [tex3]\overline{PB} =\overline{AQ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{PB} =\overline{AQ}[/tex3]

, então se o segmento vermelho for igual ao amarelo, então realmente AB é dividido ao meio.

Os triângulos formados são semelhantes pois têm todos os ângulos iguais, mas não são congruentes já que:

[tex3]PO \neq QO'[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PO \neq QO'[/tex3]

, já que segundo o enunciado: [tex3]r<R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]r<R[/tex3]

Logo a alternativa é falsa

[Ittalo25]

D) PA*PB=Rr

Usando tudo que já foi visto nas opções anteriores, é possível montar esses 2 triângulos semelhantes, exatamente com esses ângulos e essas medidas.

Usando a semelhança:

[tex3]\frac{r}{PA}= \frac{PB}{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{r}{PA}= \frac{PB}{R}[/tex3]

[tex3]PA \cdot PB = R \cdot r[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PA \cdot PB = R \cdot r[/tex3]

[Gu178]

Muito obrigado mesmo pela explicação amigo. Me ajudou bastante!