Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina III Tópico resolvido
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Jul 2017
26
13:53
Equação Diofantina III
(OBM - 2006) Encontre todos os pares ordenados ( [tex3]x,\ y[/tex3]
) de inteiros tais que [tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]
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Jul 2017
26
21:46
Re: Equação Diofantina III
uma solução trivial é (x,x), quando y=x.
As outras:
[tex3](x^2+y^2+xy)=3(x+y)[/tex3]
Seja [tex3]d=mdc(x,y) , x=x'd[/tex3] e [tex3]y=y'd[/tex3] então
[tex3](x'^2+y'^2+x'y')d = 3(x'+y')[/tex3]
então [tex3]d[/tex3] divide [tex3]x'+y'[/tex3] então [tex3]x'+y' =nd[/tex3] e [tex3]x'^2+y'^2+2x'y' = n^2d^2[/tex3]
[tex3](n^2d^2-x'y')d = 3nd[/tex3] logo [tex3]n^2d^2-x'y'=3n[/tex3] logo [tex3]x'y' = n(nd^2-3)[/tex3]
logo x' e y' são raízes de [tex3]z^2-ndz+n(nd^2-3)=0[/tex3]
isso implica que [tex3]z[/tex3] é divisível por n, logo x' e y' também o são. Mas isso contraria o fato de d ser o mdc de (x,y).
A menos que [tex3]n=1[/tex3] dai [tex3]z^2-dz+d^2-3=0 \rightarrow (z-\frac d2)^2+3\frac{d^2}4-3 = 0 \rightarrow (z-\frac d2)^2 =\frac{3}{4}(4-d^2)[/tex3]
de onde deveríamos ter [tex3]d=2 \rightarrow z=1\rightarrow x=y[/tex3] ou [tex3]d=1[/tex3] mas dai ou x ou y seria negativo.
Portanto a única solução que existe é a trivial, x=y.
Talvez eu tenha desprezado o caso onde d é múltiplo de 3, vou verificá-lo em breve.
Se [tex3]d=3[/tex3] então [tex3]x'^2 + y'^2+x'y' = x'+y'[/tex3]
aplicando mod x' dos dois lados [tex3]y'^2 \equiv y' \mod x' \rightarrow y'^n\equiv y' \mod x'[/tex3]
então [tex3]y'^n = a(n)*x'+y'[/tex3] para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]y'(y'^{n-1}-1) = a(n)x'[/tex3]
como x' e y' são primos entre si, a(n) deve dar conta do y' do lado esquerdo.
logo [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'^{n-1}-1[/tex3] para todo n natural.
Em particular, [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3]
e analogamente, [tex3]y'[/tex3] divide [tex3]x'-1[/tex3] absurdo. Pois se [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3] então [tex3]x'<y'[/tex3] e analogamente [tex3]y'<x'[/tex3] .
Acho que isso resolve o problema completamente.
As outras:
[tex3](x^2+y^2+xy)=3(x+y)[/tex3]
Seja [tex3]d=mdc(x,y) , x=x'd[/tex3] e [tex3]y=y'd[/tex3] então
[tex3](x'^2+y'^2+x'y')d = 3(x'+y')[/tex3]
então [tex3]d[/tex3] divide [tex3]x'+y'[/tex3] então [tex3]x'+y' =nd[/tex3] e [tex3]x'^2+y'^2+2x'y' = n^2d^2[/tex3]
[tex3](n^2d^2-x'y')d = 3nd[/tex3] logo [tex3]n^2d^2-x'y'=3n[/tex3] logo [tex3]x'y' = n(nd^2-3)[/tex3]
logo x' e y' são raízes de [tex3]z^2-ndz+n(nd^2-3)=0[/tex3]
isso implica que [tex3]z[/tex3] é divisível por n, logo x' e y' também o são. Mas isso contraria o fato de d ser o mdc de (x,y).
A menos que [tex3]n=1[/tex3] dai [tex3]z^2-dz+d^2-3=0 \rightarrow (z-\frac d2)^2+3\frac{d^2}4-3 = 0 \rightarrow (z-\frac d2)^2 =\frac{3}{4}(4-d^2)[/tex3]
de onde deveríamos ter [tex3]d=2 \rightarrow z=1\rightarrow x=y[/tex3] ou [tex3]d=1[/tex3] mas dai ou x ou y seria negativo.
Portanto a única solução que existe é a trivial, x=y.
Talvez eu tenha desprezado o caso onde d é múltiplo de 3, vou verificá-lo em breve.
Se [tex3]d=3[/tex3] então [tex3]x'^2 + y'^2+x'y' = x'+y'[/tex3]
aplicando mod x' dos dois lados [tex3]y'^2 \equiv y' \mod x' \rightarrow y'^n\equiv y' \mod x'[/tex3]
então [tex3]y'^n = a(n)*x'+y'[/tex3] para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]y'(y'^{n-1}-1) = a(n)x'[/tex3]
como x' e y' são primos entre si, a(n) deve dar conta do y' do lado esquerdo.
logo [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'^{n-1}-1[/tex3] para todo n natural.
Em particular, [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3]
e analogamente, [tex3]y'[/tex3] divide [tex3]x'-1[/tex3] absurdo. Pois se [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3] então [tex3]x'<y'[/tex3] e analogamente [tex3]y'<x'[/tex3] .
Acho que isso resolve o problema completamente.
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qua 26 Jul, 2017 22:45). Total de 5 vezes.
Jul 2017
27
08:30
Re: Equação Diofantina III
Resolvi de uma outra maneira.
Fatorando:
[tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]
[tex3](x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x+y)(x-y)[/tex3]
Com [tex3]x-y\not=0[/tex3] , temos que:
[tex3]x^2+xy+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)-3(x+y)=-y^2[/tex3]
Multiplicando a equação por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]-x(x+y)+3(x+y)=y^2[/tex3]
[tex3](x+y)(3-x)=y^2[/tex3]
[tex3]3x-x^2+3y-xy=y^2[/tex3]
Note que para aparecer um termo [tex3]y^2[/tex3] , temos que [tex3]x=y[/tex3] ou [tex3]x=-y[/tex3] . Mas como [tex3]x-y\not=0[/tex3] , então só podemos testar [tex3]x=-y[/tex3] :
[tex3]-3y-(-y)^2+3y-(-y)y=y^2[/tex3]
[tex3]-y^2+y^2+3y-3y=y^2[/tex3]
[tex3]y^2=0[/tex3]
Mas isso implica que [tex3]y=0[/tex3] , então [tex3]x=0[/tex3] pois [tex3]x=-y[/tex3] , mas isso é um absurdo pois estamos procurando por soluções que [tex3]x-y\not=0[/tex3] . Assim, não existe solução para [tex3]x\not=y[/tex3] , logo os únicos pares possíveis são [tex3](x,x)[/tex3] ou [tex3](y,y)[/tex3] , quando [tex3]x=y[/tex3] .
Fatorando:
[tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]
[tex3](x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x+y)(x-y)[/tex3]
Com [tex3]x-y\not=0[/tex3] , temos que:
[tex3]x^2+xy+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)-3(x+y)=-y^2[/tex3]
Multiplicando a equação por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]-x(x+y)+3(x+y)=y^2[/tex3]
[tex3](x+y)(3-x)=y^2[/tex3]
[tex3]3x-x^2+3y-xy=y^2[/tex3]
Note que para aparecer um termo [tex3]y^2[/tex3] , temos que [tex3]x=y[/tex3] ou [tex3]x=-y[/tex3] . Mas como [tex3]x-y\not=0[/tex3] , então só podemos testar [tex3]x=-y[/tex3] :
[tex3]-3y-(-y)^2+3y-(-y)y=y^2[/tex3]
[tex3]-y^2+y^2+3y-3y=y^2[/tex3]
[tex3]y^2=0[/tex3]
Mas isso implica que [tex3]y=0[/tex3] , então [tex3]x=0[/tex3] pois [tex3]x=-y[/tex3] , mas isso é um absurdo pois estamos procurando por soluções que [tex3]x-y\not=0[/tex3] . Assim, não existe solução para [tex3]x\not=y[/tex3] , logo os únicos pares possíveis são [tex3](x,x)[/tex3] ou [tex3](y,y)[/tex3] , quando [tex3]x=y[/tex3] .
Última edição: Lonel (Qui 27 Jul, 2017 08:32). Total de 3 vezes.
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Jul 2017
27
08:37
Re: Equação Diofantina III
a verdade é que há soluções não triviais, eu mandei uma mensagem pro Hanon explicando meu erro.
Tem que ser considerados os inteiros negativos.
Tem que ser considerados os inteiros negativos.
Jul 2017
27
09:05
Re: Equação Diofantina III
Opa, viajei legal quando afirmei que as únicas soluções possíveis para aquela equação seriam [tex3]x=y[/tex3]
aqui.
ou [tex3]x=-y[/tex3]
, pois se [tex3]x=y+k[/tex3]
também apareceria um [tex3]y^2[/tex3]
, com [tex3]k\not=0[/tex3]
, etc. Botei no google e achei uma solução bem legal
Última edição: Lonel (Qui 27 Jul, 2017 09:06). Total de 1 vez.
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