Ensino Médio ⇒ Equação Diofantina Tópico resolvido
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Jul 2017
25
23:56
Equação Diofantina
Encontre as soluções inteiras positivas da equação [tex3]13x + 21y = 261[/tex3]
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Jul 2017
26
01:36
Re: Equação Diofantina
como 13 e 21 são primos entre si. Existem inteiros A e B tais que
[tex3]13A+21B = 1[/tex3]
faça por tentativa, ajuda ter alguma visão mas não é obrigatório.
uma visão seria por exemplo que [tex3]A \equiv -1 \mod 7[/tex3] logo as tentativas ficam mais rápidas
repara que o que chamei de visão aqui foi aplicar mod7 dos dois lados, por que 7? Porque é o maior primo que divide 21 e 13=-1mod7
[tex3]A=6 \rightarrow 78 + 21B =1[/tex3] não serve
[tex3]A=13 \rightarrow 21B = -168 \rightarrow 7B = -56 \rightarrow B=-8[/tex3]
como
[tex3]13 \cdot 13 + 21 \cdot (-8) = 1[/tex3]
temos que:
[tex3]13 \cdot (13 +21k) + 21 \cdot (-8 -13k) = 1[/tex3]
para todo [tex3]k[/tex3] inteiro.
multiplicando os dois lados por 261
[tex3]13 \cdot (261(13+21k)) + 21 \cdot(-261(8+13k)) = 261[/tex3]
e essa é a solução geral. [tex3]x = 261(13+21k), y=-261(8+13k)[/tex3] para todo k inteiro.
[tex3]13A+21B = 1[/tex3]
faça por tentativa, ajuda ter alguma visão mas não é obrigatório.
uma visão seria por exemplo que [tex3]A \equiv -1 \mod 7[/tex3] logo as tentativas ficam mais rápidas
repara que o que chamei de visão aqui foi aplicar mod7 dos dois lados, por que 7? Porque é o maior primo que divide 21 e 13=-1mod7
[tex3]A=6 \rightarrow 78 + 21B =1[/tex3] não serve
[tex3]A=13 \rightarrow 21B = -168 \rightarrow 7B = -56 \rightarrow B=-8[/tex3]
como
[tex3]13 \cdot 13 + 21 \cdot (-8) = 1[/tex3]
temos que:
[tex3]13 \cdot (13 +21k) + 21 \cdot (-8 -13k) = 1[/tex3]
para todo [tex3]k[/tex3] inteiro.
multiplicando os dois lados por 261
[tex3]13 \cdot (261(13+21k)) + 21 \cdot(-261(8+13k)) = 261[/tex3]
e essa é a solução geral. [tex3]x = 261(13+21k), y=-261(8+13k)[/tex3] para todo k inteiro.
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