Olimpíadas ⇒ (Cone Sul e OMPLP-Quarta Lista de Preparação-2017) Teoria dos Números

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Alex e Bibi disputam o seguinte jogo: Alex escolhe inicialmente um inteiro positivo k menor ou igual a 1000. Em seguida, Bibi escolhe uma coleção B que contém mais de k números inteiros maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1001. Agora, Alex pode efetuar seguidas vezes a seguinte operação em B: ele escolhe k números de B e os troca da seguinte maneira: para cada número escolhido b, Alex o troca por b + 1, se b é menor do que 1000 e o troca por 0, se b = 1000. Alex ganha se, através de um número finito de operações, consegue fazer com que todos os números de B sejam iguais a 0; caso contrário, Bibi ganha. Determine todos os valores de k que garantem a Alex a vitória, independentemente da coleção B que Bibi escolha.