(Cone Sul e OMPLP-Quarta Lista de Preparação-2017) Teoria dos Números

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Auto Excluído (ID:17906): Última visita: 31-12-69

Jun 2017 14 18:41

(Cone Sul e OMPLP-Quarta Lista de Preparação-2017) Teoria dos Números

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:17906) » 14 Jun 2017, 18:41

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » 14 Jun 2017, 18:41

Alex e Bibi disputam o seguinte jogo: Alex escolhe inicialmente um inteiro positivo k menor ou igual a 1000. Em seguida, Bibi escolhe uma coleção B que contém mais de k números inteiros maiores ou iguais a 0 e menores ou iguais a 1001. Agora, Alex pode efetuar seguidas vezes a seguinte operação em B: ele escolhe k números de B e os troca da seguinte maneira: para cada número escolhido b, Alex o troca por b + 1, se b é menor do que 1000 e o troca por 0, se b = 1000. Alex ganha se, através de um número finito de operações, consegue fazer com que todos os números de B sejam iguais a 0; caso contrário, Bibi ganha. Determine todos os valores de k que garantem a Alex a vitória, independentemente da coleção B que Bibi escolha.

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em 14 Jun 2017, 18:43, em um total de 1 vez.

Auto Excluído (ID:17906)

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Últ. msg por Lonel « 11 Jan 2018, 23:34
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por Hanon » 11 Jan 2018, 23:20 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

(Cone Sul - Chile 1992) Prove que não existem a, \ b,\ c\in \mathbb{Z}^+ que satisfazem a igualdade:
a^2+b^2=3c^2

Últ. msg

a^2+b^2\equiv0 \text{ (mod 3})

Para que isso ocorra a,b\equiv0\text{ (mod 3}) , caso a,b forem congruente a 1 ou -1, teremos que a^2+b^2\equiv1 \text{ ou} -1 \text{ (mod 3})

Podemos reescrever a...

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Últ. msg por rodBR « 08 Jan 2020, 13:35
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por goncalves3718 » 06 Jan 2020, 19:41 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Provar que o número \frac{1995\cdot 1997^{1996}-1996\cdot 1997^{1995}+1}{1996^{2}} é inteiro.

Últ. msg

Vc só precisava fazer a distributiva para ver oq aconteceu...:
E=\frac{(n+1)^{n-1}(n^2-1-n)+1}{n^2}\\
E=\frac{n^2(n+1)^{n-1}-(n+1)^{n-1}-n(n+1)^{n-1}+1}{n^2}\\...

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Últ. msg por rodBR
08 Jan 2020, 13:35
Nova mensagem (Cone Sul) Teoria dos números

Últ. msg por Ittalo25 « 24 Dez 2020, 00:09
Enviado em Olimpíadas
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por Deleted User 25040 » 23 Dez 2020, 11:32 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Prove que, ao expressarmos a soma
1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over4}+...+{1\over109}+{1\over110}
como uma fração irredutível, o numerador e um múltiplo de 11.

Últ. msg

Seja S_2 = \frac{1}{111}+\frac{1}{112}+\frac{1}{113}+\frac{1}{114}+....+\frac{1}{120}
Somando os extremos:
S_2 =...

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Últ. msg por Ittalo25
24 Dez 2020, 00:09
Nova mensagem Cone Sul 2020 - Teoria dos números

Últ. msg por Deleted User 25040 « 22 Fev 2021, 20:46
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por Deleted User 25040 » 14 Fev 2021, 16:22 » em Olimpíadas

Prove que existe um inteiro positivo n < 10^6 tal que 5^n tem 6 zeros consecutivos em sua representação decimal.

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Últ. msg por Deleted User 25040
22 Fev 2021, 20:46
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Últ. msg por Ittalo25 « 02 Mar 2021, 16:27
Enviado em Olimpíadas
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por Deleted User 25040 » 02 Mar 2021, 14:30 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Para cada inteiro positivo n, defina
S_n = 1! + 2! + . . . + n!.
Prove que existe um inteiro positivo n tal que S_n possui um divisor primo maior que 10^{2020} .

Últ. msg

Aqui tem a resposta: has a prime divisor greater than .
mas não consegui entender muito bem.

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Últ. msg por Ittalo25
02 Mar 2021, 16:27

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