Pré-Vestibular ⇒ (INATEL) Função exponencial

[FelipeMP]

(INATEL) Dada a relação [tex3]x=\frac{m^{-y}}{1+m^{-y}}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{m^{-y}}{1+m^{-y}}[/tex3]

, com m [tex3]\in[/tex3]

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[tex3]\in[/tex3]

[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

e 0 < m [tex3]\neq[/tex3]

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[tex3]\neq[/tex3]

1, determine o domínio da função [tex3]y=f(x)[/tex3]

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[tex3]y=f(x)[/tex3]

.

Resposta

---

D = {[tex3]x \in \mathbb{R} | 0<x<1[/tex3]

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[tex3]x \in \mathbb{R} | 0<x<1[/tex3]

}

Grato desde já.

[undefinied3]

Primeiro teremos que isolar y na igualdade.

[tex3]x+x.m^{-y}=m^{-y} \rightarrow x=m^{-y}(1-x) \rightarrow m^{-y}=\frac{x}{1-x}[/tex3]

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[tex3]x+x.m^{-y}=m^{-y} \rightarrow x=m^{-y}(1-x) \rightarrow m^{-y}=\frac{x}{1-x}[/tex3]

[tex3]-ylog(m)=log \left ( \frac{x}{1-x} \right )[/tex3]

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[tex3]-ylog(m)=log \left ( \frac{x}{1-x} \right )[/tex3]

[tex3]y=-\frac{log \left ( \frac{x}{1-x} \right )}{log(m)}=-log_m \left ( \frac{x}{1-x} \right ) = log_m \left ( \frac{1-x}{x} \right )[/tex3]

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[tex3]y=-\frac{log \left ( \frac{x}{1-x} \right )}{log(m)}=-log_m \left ( \frac{x}{1-x} \right ) = log_m \left ( \frac{1-x}{x} \right )[/tex3]

Note que o logarítimo na base m é possível pois foi dado m real, positivo e diferente de 1. Resta ver a condição de existência do que estamos tirando o logarítimo.

[tex3]\frac{1-x}{x}>0[/tex3]

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[tex3]\frac{1-x}{x}>0[/tex3]

Cuja solução é [tex3]0<x<1[/tex3]

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[tex3]0<x<1[/tex3]

[FelipeMP]

undefinied3, muito obrigado!
Apenas uma dúvida: na última passagem, quando você encontrou a solução da equação do 'tipo' quociente, você utilizou o quadro de sinais?

Grato.

[undefinied3]

Sim, é a maneira mais garantida de não vacilar nesse tipo de problema. É trabalhoso, mas garante que você não vai comer algum intervalo.

Numerador: [tex3]1-x>0 \rightarrow x<1[/tex3]

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[tex3]1-x>0 \rightarrow x<1[/tex3]

Denominador: [tex3]x>0[/tex3]

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[tex3]x>0[/tex3]

A interseção precisa ser positiva, então ou os dois são positivos ou os dois são negativos. Dessas duas desigualdades, o segundo caso é impossível, pois quando um é negativo, o outro é sempre positivo, então ficamos apenas com quando os dois são positivos, e isso ocorre para [tex3]0 < x < 1[/tex3]

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[tex3]0 < x < 1[/tex3]

[FelipeMP]

Novamente, muito obrigado.