Olimpíadas ⇒ (Treinamento Olímpico Indiano) Teoria dos Números Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Encontre o(s) valor(es) de [tex3]p,[/tex3]

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[tex3]p,[/tex3]

para que [tex3]2^{2p} + 7.2^p + 1[/tex3]

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[tex3]2^{2p} + 7.2^p + 1[/tex3]

seja um quadrado perfeito.

[Ittalo25]

acho que é [tex3]2^{2p}+ 7\cdot 2^p + 1[/tex3]

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[tex3]2^{2p}+ 7\cdot 2^p + 1[/tex3]

né

e os valores de p não estão restringidos para inteiros ou naturais

[Auto Excluído (ID:17906)]

Obrigado, a equação era aquela que você tinha falado, mas ele não restringia em qual conjunto o [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

estava.

[undefinied3]

[tex3]2^{2p}+7.2^p+1 \rightarrow (2^p+1)^2+5.2^p=u^2[/tex3]

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[tex3]2^{2p}+7.2^p+1 \rightarrow (2^p+1)^2+5.2^p=u^2[/tex3]

[tex3]5.2^p=(u+2^p+1)(u-2^p-1)[/tex3]

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[tex3]5.2^p=(u+2^p+1)(u-2^p-1)[/tex3]

Repare que se u é ímpar, os dois fatores serão pares, e se u for par, os dois serão ímpares.
Vamos começar pelo segundo caso. Ele só é possível se p=0, pois o lado esquerdo não vai poder ter fatores 2 pra isso acontecer.
[tex3]5=(u+1+1)(u-1-1) \rightarrow 5=(u+2)(u-2)[/tex3]

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[tex3]5=(u+1+1)(u-1-1) \rightarrow 5=(u+2)(u-2)[/tex3]

Daqui, u=-3 ou u=3, então existe solução para p=0
Agora, o segundo caso. Repare que a divisão dos fatores terá que ser [tex3]5.2^{x}[/tex3]

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[tex3]5.2^{x}[/tex3]

e [tex3]2^{p-x}[/tex3]

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[tex3]2^{p-x}[/tex3]

, pois como dito, ambos fatores devem ser par, então o 5 não pode aparecer sozinho.
Supondo [tex3]5.2^x>2^{p-x}[/tex3]

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[tex3]5.2^x>2^{p-x}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
5.2^x=u+2^p+1 \\
2^{p-x}=u-2^p-1
\end{cases} \rightarrow 5.2^x-2^{p-x}=2.2^p+2 \rightarrow 5.2^x=2(2^p+1+2^{p-x-1})[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
5.2^x=u+2^p+1 \\
2^{p-x}=u-2^p-1
\end{cases} \rightarrow 5.2^x-2^{p-x}=2.2^p+2 \rightarrow 5.2^x=2(2^p+1+2^{p-x-1})[/tex3]

O que está no parêteses sempre será ímpar, a não ser no único caso em que p-x-1=0, então x=1 ou p-x-1=0. O primeiro caso não tem solução, então analisando x=p-1:
[tex3]5.2^{p-1}=2^{p+1}+4 \rightarrow p=3[/tex3]

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[tex3]5.2^{p-1}=2^{p+1}+4 \rightarrow p=3[/tex3]

Finalmente, [tex3]5.2^x<2^{p-x}[/tex3]

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[tex3]5.2^x<2^{p-x}[/tex3]

:
[tex3]\begin{cases}
5.2^x=u-2^p-1 \\
2^{p-x}=u+2^p+1
\end{cases} \rightarrow 2^{p-x}-5.2^x=2.2^p+2 \rightarrow 5.2^x=2(2^{p-x-1}-2^p-1)[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
5.2^x=u-2^p-1 \\
2^{p-x}=u+2^p+1
\end{cases} \rightarrow 2^{p-x}-5.2^x=2.2^p+2 \rightarrow 5.2^x=2(2^{p-x-1}-2^p-1)[/tex3]

x=1 não terá solução, e agora o termo em parênteses nunca será par positivo.

Então parece que soluções interas positivas são pra p=0 e p=3, mas o enunciado não restringe para p positivo... Eu não faço a menor ideia de como encontrar as com p negativo.

[Auto Excluído (ID:17906)]

Obrigado, eu nunca vi esse tipo de questão com incógnitas de valor negativo, portanto creio que esteja correto os resultados que achou, sendo assim é pouco provável que existam raízes negativas.
Um grande abraço.

[undefinied3]

Pior que tem uma solução com p=-3...

[undefinied3]

Ok, veja:
Suponha que [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

é uma solução, com p positivo, assim:
[tex3]2^{2p}+7.2^p+1=x^2[/tex3]

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[tex3]2^{2p}+7.2^p+1=x^2[/tex3]

Divida tudo por [tex3]2^{2p}[/tex3]

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[tex3]2^{2p}[/tex3]

[tex3]1+7.2^{-p}+2^{-2p}=(\frac{x}{2^p})^2=u^2[/tex3]

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[tex3]1+7.2^{-p}+2^{-2p}=(\frac{x}{2^p})^2=u^2[/tex3]

Ora, mas então provamos que se p satisfaz a equação, -p também satisfaz, porque o lado esquerdo é igual a equação original, mas com -p, e pelo lado direito, vemos que ainda temos um quadrado perfeito.
Analogamente, poderíamos partir de -p como solução e chegar em +p como solução, então temos uma relação de x é solução se e somente se -x é também. Como encontramos todas as soluções positivas, também encontramos todas negativas, pois elas estão diretamente relacionadas.

Desse modo, -3, 0 e 3 são soluções únicas.