[tex3]S=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{2k+1}\\
S={n\choose 0}-\frac{1}{3}{n\choose 1}+\frac{1}{5}{n\choose 2}-\frac{1}{7}{n\choose 3}+~...~\frac{(-1)^k}{2n+1}{n\choose n}\\[/tex3]
Define-se o polinômio [tex3]P(x)[/tex3]
tal que:
[tex3]P(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}(-1)^kx^{2k+1}[/tex3]
e [tex3]P(1)-P(0)=S[/tex3]
[tex3]P(x)={n\choose 0}x-{n\choose 1}\frac{x^3}{3}+{n\choose 2}\frac{x^5}{5}-~...+(-1)^n{n \choose n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}[/tex3]
Mas veja que:
[tex3]P'(x)={n\choose 0}-{n\choose 1}x^2+{n\choose 2}x^4-~...+(-1)^n{n \choose n}x^{2n}[/tex3]
Que é justamente
[tex3]P'(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^k x^{2k}=(1-x^2)^n[/tex3]
Portanto:
[tex3]S=P(1)-P(0)=\int_0^1 P'(x)=\int_0^{1} (1-x^2)^n~dx[/tex3]
Fazendo a substituição [tex3]x=\sen\theta[/tex3]
temos que:
[tex3]S=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~ d\theta[/tex3]
Assim a integral parece desafiadora, mas com integração por partes:
[tex3]u=\cos^{2n}\theta\\
du=-2n\cos^{2n-1}\theta\sen\theta~d\theta\\
dv=\cos\theta~d\theta\\
v=\sen\theta\\
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta={\Big[}\cos^{2n}\theta\sen\theta{\Big]}_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n-1}\theta\sen^2\theta~d\theta[/tex3]
Fazendo [tex3]\sen^2\theta=1-\cos^2\theta[/tex3]
fica e observando que um dos termos simplifica a zero:
[tex3]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n-1}\theta\cdot(1-\cos^2\theta)~d\theta\\
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n-1}\theta~d\theta-\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n+1}\theta~d\theta[/tex3]
Isolando o nosso termo de interesse:
[tex3]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta=\frac{2n}{2n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-1}\theta~d\theta[/tex3]
O que dá a relação de recorrência:
[tex3]I_{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}I_{2k-1}[/tex3]
Assim:
[tex3]I_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\cdot\frac{2n-4}{2n-3}\cdot~...~\cdot\frac{2}{3}I_1[/tex3]
Mas:
[tex3]I_1=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\theta~d\theta=\Big[\sen\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1[/tex3]
Finalmente:
[tex3]I_{2n+1}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
S=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}[/tex3]
E como a área debaixo dessa função no intervalo estudado é bem definida para n maior que 0, poderíamos até encontrar valores dessa soma para valores não inteiros de n
. Para essa generalização é muito útil o binômio de Newton:
[tex3]\begin{align}\int_0^1 (1-x^2)^n~dx&=\int_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}{n\choose k}(-1)^kx^{2k}~dx\\
&=\int_0^1 1-nx^2+\frac{n(n-1)x^4}{2!}-\frac{n(n-1)(n-2)x^6}{3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)x^8}{4!}-~...~dx
\\&=\Big[x-\frac{nx^3}{3}+\frac{n(n-1)x^5}{5\cdot2!}-\frac{n(n-1)(n-2)x^7}{7\cdot 3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)x^9}{9\cdot 4!}-~...\Big]_0^1\\
&=1-\frac{n}{3}+\frac{n(n-1)}{5\cdot2!}-\frac{n(n-1)(n-2)}{7\cdot 3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{9\cdot 4!}-~...\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(n)_k}{k!}\frac{(-1)^k}{(2k+1)}\end{align}\\[/tex3]
Onde [tex3](n)_k=n(n-1)(n-2)(n-3)~...~(n-k+1)[/tex3]
é o fatorial descendente. O problema é que ela é tão ruim, que se você colocar no wolfram alpha, ele nem vai achar que é convergente.
Se alguém conseguir salvar essa série fala aí, to pesquisando alguns métodos aqui.
Outra coisa interessante que achei é que a integral da forma:
[tex3]\int_0^1(1-x^t)^n~dx[/tex3]
É nada menos, nada mais que uma função beta.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman