Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Noruega - Álgebra Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Os inteiros positivos a, b e c são tais que 4abc + 2ab + 2bc + 2ca + a + b + c = 1006. Qual é o valor de a + b + c?

[Andre13000]

Acho que a ideia é associar um polinômio ao problema.

Então seja [tex3]x^3+mx^2+px+q[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3+mx^2+px+q[/tex3]

tal que suas raízes são a,b,c.

[tex3]-4q+2p-m=1006\\[/tex3]

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[tex3]-4q+2p-m=1006\\[/tex3]

Deve ter algo aí no meio que não estou ligado ainda. Mas vou tentar amanhã.

[Ittalo25]

Percebendo que;

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) = 4abc+4ab+4ac+4bc+4a+4b+4c+4[/tex3]

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[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) = 4abc+4ab+4ac+4bc+4a+4b+4c+4[/tex3]

Basta ir testando algumas coisas até chegar na expressão do enunciado

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+1)(c+1) - (a+1)(2b+1) - (b+1)(2c+1) = 1007[/tex3]

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[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+1)(c+1) - (a+1)(2b+1) - (b+1)(2c+1) = 1007[/tex3]

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]

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[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]

Fazendo;

[tex3]\begin{cases}
a+1=x \\
b+1=y \\
c+1=z
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a+1=x \\
b+1=y \\
c+1=z
\end{cases}[/tex3]

[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]

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[tex3]4(a+1)(c+1)(b+1) - (2a+2-1)(c+1) - (a+1)(2b+2-1) - (b+1)(2c+2-1) = 1007[/tex3]

[tex3]4xyz - (2x-1)\cdot z - (2y-1)\cdot x - (2z-1)\cdot y = 1007[/tex3]

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[tex3]4xyz - (2x-1)\cdot z - (2y-1)\cdot x - (2z-1)\cdot y = 1007[/tex3]

[tex3]4xyz - 2xy-2xz-2yz+ x+y+z= 1007[/tex3]

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[tex3]4xyz - 2xy-2xz-2yz+ x+y+z= 1007[/tex3]

1007 tem poucos divisores, então acredito que o caminho seria conseguir fatorar isso

[Auto Excluído (ID:12031)]

Seja [tex3]f(x) = x^3 + mx^2 + px + q = (x-a)(x-b)(x-c)[/tex3]

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[tex3]f(x) = x^3 + mx^2 + px + q = (x-a)(x-b)(x-c)[/tex3]

[tex3]f(-\frac12) = -\frac18 + \frac14(m-2p+4q) = -\frac18 -\frac{1006}{4} = \frac{-2013}{8}[/tex3]

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[tex3]f(-\frac12) = -\frac18 + \frac14(m-2p+4q) = -\frac18 -\frac{1006}{4} = \frac{-2013}{8}[/tex3]

[tex3](1+2a)(1+2b)(1+2c) = 2013 = 3*11*61[/tex3]

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[tex3](1+2a)(1+2b)(1+2c) = 2013 = 3*11*61[/tex3]

logo [tex3]a=1[/tex3]

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[tex3]a=1[/tex3]

[tex3]b=5[/tex3]

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[tex3]b=5[/tex3]

[tex3]c=30[/tex3]

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[tex3]c=30[/tex3]

e a soma é [tex3]36[/tex3]

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[tex3]36[/tex3]