Se eu não me engano, a equação diferencial certa é: [tex3]\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g\sen\theta}{L}=0[/tex3]
Isso porque você pega a aceleração do pêndulo na ponta (somente a parte que gera torque), que é [tex3]g\sen\theta[/tex3]
e divide pela distância que é L, para achar a aceleração angular.
Sobre o período:
Para calcular o período, precisamos calcular o torque na ponta do pêndulo e igualá-lo a segunda lei de Newton (para rotações)
Observe:
[tex3]I\alpha=-mgL\sen\theta\approx -mgL\theta[/tex3]
Como estamos lidando com um MHS, onde [tex3]-\omega^2\theta=\alpha[/tex3]
, é só substituir:
[tex3]I\cdot -\omega^2\theta\approx -mgL\theta\\
\omega\approx\sqrt{\frac{mgL}{I}}[/tex3]
Quando se tem a frequência angular, tem-se o período:
[tex3]\frac{2\pi}{\omega}=T\\
T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{mgL}{I}}}=2\pi\sqrt{\frac{I}{mgL}}[/tex3]
Para um pêndulo simples, temos [tex3]I=ML^2[/tex3]
[tex3]T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}[/tex3]
Agora sobre a equação horária temos:
[tex3]\theta(t)=\theta_m\cos(\omega t)\\[/tex3]
Bom para resolver essa parte, desenhe um pêndulo, coloque um ângulo teta arbitrário, e veja que se forma um triângulo. A hipotenusa do triângulo é L, o cateto oposto ao ângulo é [tex3]\Delta x[/tex3]
(em relação ao ângulo zero) e o cateto adjacente vale [tex3]L-\Delta y[/tex3]
.
A partir daí é trigonometria básica:
[tex3]\frac{\Delta x}{L}=\sen\theta\\
\Delta x(t)=L\sen\theta(t)\\
\frac{L-\Delta y}{L}=cos\theta\\
\Delta y(t)=L-L\cos\theta(t)=L(1-\cos\theta(t))[/tex3]
Beleza?
Agora que conhecemos a equação de [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
, podemos calcular o período de uma forma bem matemática.
Veja que:
[tex3]K+U=E\\
\frac{mv^2}{2}+mgh=mgh_m[/tex3]
Sabemos que:
[tex3]v^2=\frac{dx^2+dy^2}{dt^2}\\
x=L\sen\theta\to \dot{x}=L\cos\theta\cdot \dot {\theta}\\
y=L(1-cos\theta)\to \dot{y}=L\sen\theta\cdot\dot{\theta}\\
\dot{x}^2+\dot{y}^2=L^2\dot\theta^2\\
\frac{mL^2\dot{\theta^2}}{2}+mgL(1-\cos\theta)=mgL(1-cos\theta_m)\\
\dot{\theta^2}=\frac{2g}{L}(\cos\theta-\cos\theta_m)\\
dt=\sqrt{\frac{L}{2g}\cdot\frac{1}{cos\theta-\cos\theta_m}}d\theta[/tex3]
Bom, agora que tá tudo separado, é só integrar dos dois lados.
Repare que quando passa um quarto do período do pêndulo, ele vai da posição relaxada, de energia cinética máxima, até a posição mais alta, de [tex3]K=0[/tex3]
. Então podemos relacionar [tex3]0\to t\to \frac{T}{4}[/tex3]
; [tex3]0\to \theta \to \theta_m[/tex3]
Então:
[tex3]\int\limits_{0}^{\frac{T}{4}}dt=\sqrt{\frac{L}{2g}}\int\limits_{0}^{\theta_m}\sqrt{\frac{1}{cos\theta-\cos\theta_m}}d\theta[/tex3]
Resolvendo essa integral, você acha o período de um pêndulo simples qualquer, até para ângulos maiores que 45º se não me engano. Mas ela não é fácil de ser computada, sua antiderivada não é elementar.
Você terá de modificar a integral um pouco para chegar em uma integral que se denomina elíptica, e você pode então computar o período em termos dessa função especial. Se quiser saber mais sobre integrais elípticas, aqui tem a página do wikipédia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
Espero que essa demonstração mais matemática do período tenha demonstrado o quão o cálculo é elegante e útil, é só estudar. Lembrando que para qualquer sistema conservativo essa forma de obter o período é válida.
Edit: Esqueci que tem Tx e Ty, mas observe que no eixo x, para a o pêndulo ir e voltar demora T, mas no eixo y, só se leva T/2. Se não tiver entendido, só manda aí uma mensagem.
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
