Ensino Superior ⇒ Curvas polares - Área

[shaka]

Determine a área da região dentro do círculo r = 1 + cos [tex3]\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\theta[/tex3]

e fora do círculo r = 3cos [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

[Andre13000]

[tex3]r=1+cos\theta\\
r=3cos\theta[/tex3]

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[tex3]r=1+cos\theta\\
r=3cos\theta[/tex3]

Bom, e agora como fazer para achar essa danada dessa área? kkkk

Você vai precisar da formula do setor circular, que é:

[tex3]A=\frac{r^2\Delta\theta}{2}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{r^2\Delta\theta}{2}[/tex3]

Imagine agora que esse [tex3]\Delta\theta[/tex3]

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[tex3]\Delta\theta[/tex3]

é tão pequeno que chega a ser infinitesimal, ou seja:

[tex3]dA=\frac{r^2d\theta}{2}[/tex3]

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[tex3]dA=\frac{r^2d\theta}{2}[/tex3]

A soma de todos esses pedacinhos é dada por uma integral:

[tex3]A=\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{r^2}{2}d\theta[/tex3]

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[tex3]A=\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{r^2}{2}d\theta[/tex3]

Temos que determinar os limites da integral, então temos que descobrir onde as curvas se tocam:

[tex3]1+cos\theta=3cos\theta\\
\frac{1}{2}=cos\theta\\
\theta=\pm\frac{\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]1+cos\theta=3cos\theta\\
\frac{1}{2}=cos\theta\\
\theta=\pm\frac{\pi}{3}[/tex3]

Então:

[tex3]\int\limits_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{1+cos\theta-3cos\theta}\kern 0.2emd\theta[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{1+cos\theta-3cos\theta}\kern 0.2emd\theta[/tex3]

É só achar essa integral agora.