Ensino Fundamental

02 Mar 2017, 21:43

Seja n = 999...999, um número que possui 2.008 algarismos. Quantos "9" há na representação decimal de [tex3]n^{3}[/tex3] ?

a) 6.021.
b) 6.020.
c) 4.015.
d) 4.014.
e) nenhum.

02 Mar 2017, 22:25

Vamos tentar achar um padrão.
[tex3]9^{1}[/tex3] = 9 (1 Número 9)
[tex3]99^{1}[/tex3] = 99 (2 Números 9)
[tex3]999^{1}[/tex3] = 999 (3 Números 9)
[tex3]9999^{1}[/tex3] = 9999 (4 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 1 em 1, a partir do 1.

[tex3]9^{2}[/tex3] = 81 (0 Número 9)
[tex3]99^{2}[/tex3] = 9801 (1 Número 9)
[tex3]999^{2}[/tex3] = 998001 (2 Números 9)
[tex3]9999^{2}[/tex3] = 99980001 (3 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 1 em 1, a partir do 0.

[tex3]9^{3}[/tex3] = 729 (1 Número 9)
[tex3]99^{3}[/tex3] = 970299 (3 Números 9)
[tex3]999^{3}[/tex3] = 997002999 (5 Números 9)
[tex3]9999^{3}[/tex3] = 999700029999 (7 Números 9). Notamos que o número de algarismos 9 aumenta de 2 em 2, a partir do 1, também podemos chegar numa equação: 2 [tex3]\cdot[/tex3] (número de algarismos 9 que vão ser elevados a 3) - 1 = número de algarismos 9, então:
2 [tex3]\cdot[/tex3] 2008 - 1 = 4.015

Mensagem não lida por **rodBR** » 02 Mar 2017, 23:21

Pensei análogo a vc Guibernardo.

9 [tex3]\rightarrow 9^{3}=729[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 1[/tex3]
99 [tex3]\rightarrow 99^{3}=970299[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 3[/tex3]
999 [tex3]\rightarrow 999^{3}=997002999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 5[/tex3]
9999 [tex3]\rightarrow 9999^{3}=999700029999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 7[/tex3]
99999 [tex3]\rightarrow 99999^{3}=999970000299999[/tex3] total de algarismo "9" [tex3]\rightarrow 9[/tex3]

Considerando que esse padrão continua. Temos que o sucessor de [tex3]10^{n}-1[/tex3] tem dois algarismos 9 a mais.
A quantidade de "9" segue o seguinte padrão:

[tex3](1,3,5,7,9...)[/tex3] , onde [tex3]a_{1}=1[/tex3] , [tex3]r=2[/tex3] .

Logo, trata-se de uma P.A e queremos saber quantos "9" tem quando temos o número
[tex3]\underbrace{99\ldots9}_{\text{2008 algs "9"}}\,[/tex3] elevado ao cubo:

[tex3]a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+(2008-1)\cdot 2[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+2007\cdot 2[/tex3]
[tex3]a_{2008}=1+4014[/tex3]
[tex3]a_{2008}=4015[/tex3]

A linha de raciocínio acima parece ser verdadeira, mas como não provei que vai seguir esse padrão, o "mais correto" seria o seguinte raciocínio:
Para criar número com algarismo "9" faz-se [tex3]10^{n}-1[/tex3] . Logo queremos saber quantos algarismos "9" tem o número:

[tex3](10^{2008}-1)^{3}=10^{6024}-3\cdot 10^{4016}\cdot 1+3\cdot 1\cdot 10^{2008}-1^{3}[/tex3]

Não desenvolvi esse produto notável, mas se a partir disso concluirmos que o número [tex3](10^{2008}-1)^{3}[/tex3] tem 4014 "9", logo o raciocínio está correto, porém ainda faltará justificá-lo.

Espero ter contribuído de alguma forma. Abraços...

Att>> rodBR.

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