Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - 2016) Regra de Girard
Fev 2017
27
10:16
(UEPG - 2016) Regra de Girard
Dado o polinômio do quarto grau x>4 + mx>3 +x>2 +8x +n = 0 . Determine os valores de m e n sabendo que uma das raízes vale 2i.
Editado pela última vez por ALDRIN em 07 Mar 2017, 14:15, em um total de 1 vez.
Fev 2017
27
13:55
Re: Regra de Girard- UEPG-2016
[tex3]x^4+mx^3+x^2+8x+n=0[/tex3]
Se uma raiz é [tex3]x_3=2i[/tex3] a outra deve ser o conjugado [tex3]x_4=-2i[/tex3] .
Substituindo as raízes [tex3]x_3, x_4[/tex3] na equação você obtém um sistema para [tex3]m,n[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
(2i)^4+m(2i)^3+8\cdot 2i+n=0 \\
(-2i)^4+m(-2i)^3-8\cdot 2i+n=0 \\
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
8i\cdot m-n=12+16i \\
8i\cdot m+n =16i-12
\end{cases} \Leftrightarrow (m,n)=(2,-12)[/tex3]
Se uma raiz é [tex3]x_3=2i[/tex3] a outra deve ser o conjugado [tex3]x_4=-2i[/tex3] .
Substituindo as raízes [tex3]x_3, x_4[/tex3] na equação você obtém um sistema para [tex3]m,n[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
(2i)^4+m(2i)^3+8\cdot 2i+n=0 \\
(-2i)^4+m(-2i)^3-8\cdot 2i+n=0 \\
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
8i\cdot m-n=12+16i \\
8i\cdot m+n =16i-12
\end{cases} \Leftrightarrow (m,n)=(2,-12)[/tex3]
Editado pela última vez por 3tom em 27 Fev 2017, 13:55, em um total de 1 vez.
Fev 2017
27
14:06
Re: (UEPG - 2016) Regra de Girard
Substituindo os valores encontrados:
[tex3]p(x)=x^4+2x^3+x^2+8x-12=g(x)\cdot(x-2i)\cdot(x+2i)[/tex3]
Para obter o polinômio [tex3]g[/tex3] basta dividir [tex3]p[/tex3] por [tex3]x^2+4[/tex3]
[tex3]p(x)=(x^2+2x-3)(x^2+4)=(x-1)(x+3)(x^2+4)[/tex3]
[tex3]p(x)=x^4+2x^3+x^2+8x-12=g(x)\cdot(x-2i)\cdot(x+2i)[/tex3]
Para obter o polinômio [tex3]g[/tex3] basta dividir [tex3]p[/tex3] por [tex3]x^2+4[/tex3]
[tex3]p(x)=(x^2+2x-3)(x^2+4)=(x-1)(x+3)(x^2+4)[/tex3]
Editado pela última vez por 3tom em 27 Fev 2017, 14:06, em um total de 2 vezes.
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