Ensino Médio ⇒ Progressão Geométrica

[ARTHUR36]

Se a e q são números reais não nulos,calcular a soma dos n primeiros termos da PG : [tex3]a,aq^{2},aq^{4},aq^{6},...[/tex3]

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[tex3]a,aq^{2},aq^{4},aq^{6},...[/tex3]

Gab; [tex3]S=\frac{a(q^{2n}-1)}{q-1}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{a(q^{2n}-1)}{q-1}[/tex3]

Gostaria de ajuda com a resolução.

[rodBR]

Olá, bom dia. Verifique se o gabarito é esse mesmo, pois a soma dos n primeiros termos dessa P.G vai ser
[tex3]S_{n}=\frac{a.(q^{2n}-1)}{q^{2}-1}[/tex3]

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[tex3]S_{n}=\frac{a.(q^{2n}-1)}{q^{2}-1}[/tex3]

[ARTHUR36]

Sim,o gabarito que eu coloquei é o mesmo do livro.

[rodBR]

Em uma Progressão Geométrica [tex3](a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})[/tex3]

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[tex3](a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})[/tex3]

para avançarmos um termo multiplicamos por um valor constante (razão), e para encontrar a razão basta dividir cada termo pelo seu antecessor. A soma dos [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

primeiros termos de uma P.G é dada por [tex3]S_{n}=\frac{a_{1}.(q^{n}-1)}{q-1}[/tex3]

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[tex3]S_{n}=\frac{a_{1}.(q^{n}-1)}{q-1}[/tex3]

. Onde [tex3]a_{1}[/tex3]

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[tex3]a_{1}[/tex3]

é o primeiro termo e [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

é a razão.

Na P.G: [tex3]a_{},aq^{2},aq^{4},aq^{6}...[/tex3]

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[tex3]a_{},aq^{2},aq^{4},aq^{6}...[/tex3]

. Temos:

[tex3]\bullet a_{1}=a[/tex3]

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[tex3]\bullet a_{1}=a[/tex3]

[tex3]\bullet q=q^{2},pois\rightarrow q=\frac{a_{2}}{a_{1}}\rightarrow q=\frac{aq^{2}}{a}\therefore q=q^{2}[/tex3]

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[tex3]\bullet q=q^{2},pois\rightarrow q=\frac{a_{2}}{a_{1}}\rightarrow q=\frac{aq^{2}}{a}\therefore q=q^{2}[/tex3]

, ou seja, a razão é [tex3]q^{2}[/tex3]

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[tex3]q^{2}[/tex3]

. Logo teremos:

[tex3]S_{n}=\frac{a_{1}.(q^{n}-1)}{q-1}\therefore S_{n}=\frac{a.[(q^{2})^{n}-1]}{q^{2}-1}\rightarrow S_{n}=\frac{a.(q^{2n}-1)}{q^{2}-1}[/tex3]

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[tex3]S_{n}=\frac{a_{1}.(q^{n}-1)}{q-1}\therefore S_{n}=\frac{a.[(q^{2})^{n}-1]}{q^{2}-1}\rightarrow S_{n}=\frac{a.(q^{2n}-1)}{q^{2}-1}[/tex3]

Acredito q o gabarito esteja errado.

Att>> rodBR.