Resposta
Gabarito: 64
Pré-Vestibular ⇒ (UFPE) Equações Logarítmicas
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2017
24
13:59
(UFPE) Equações Logarítmicas
Se [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
são números reais positivos satisfazendo [tex3]\log_8x + \log_4y^2 = 6[/tex3]
e [tex3]\log_4x^2 + \log_8 y = 10[/tex3]
, qual o valor de [tex3]\sqrt{xy}[/tex3]
?
Gabarito: 64
Gabarito: 64
Última edição: ismaelmat (Sex 24 Fev, 2017 13:59). Total de 2 vezes.
Fev 2017
24
17:47
Re: (UFPE) Equações Logarítmicas
Olá, boa tarde. A resolução ficou extensa prq tentei não omitir as "passagens" para seu maior entendimento.
I) Para a existência dos logaritmos devemos ter: [tex3]x>0[/tex3] e [tex3]y>0[/tex3] .
II) Para encontrar o valor [tex3]\sqrt{x\times y}[/tex3] vamos primeiramente resolver o sistema.
Para o entendimento da resolução do sistema usei as propriedades a seguir:
i) [tex3]\log_{a}b^{\beta }=\beta \times \log_{a}b[/tex3]
ii) [tex3]\log_{a^{\beta }}b=\frac{1}{\beta }\times \log_{a}b[/tex3] ( é uma consequência da propriedade mudança de base)
[tex3]\begin{cases}
\log_{8}x+\log_{4}y^{2}=6
\\
\log_{4}x^{2}+\log_{8}y=10
\end{cases}\rightarrow\begin{cases}
\log_{2^{3}}x+\log_{2^{2}}y^{2}=6 \\
\log_{2^{2}}x^{2}+\log_{2^{3}}y=10
\end{cases}[/tex3]
Utilizando as duas propriedades citadas acima, teremos:
[tex3]\begin{cases}
\frac{1}{3}\log_{2}x+\frac{2}{2}.\log_{2}y=6 \\
\frac{2}{2}.\log_{2}x+\frac{1}{3}.\log_{2}y=10
\end{cases}[/tex3]
Multiplicando as duas equações por 3, Ficamos com:
[tex3]\begin{cases}
\log_{2}x+3.\log_{2}y=18 \\
3.\log_{2}x+\log_{2}y=30
\end{cases}[/tex3]
Fazendo [tex3]\log_{2}x=m[/tex3] e [tex3]\log_{2}y=n[/tex3] . O sistema resultante dessa mudança de incógnita, será:
[tex3]\begin{cases}
m+3n=18 \\
3m+n=30
\end{cases}[/tex3] . Multiplicando a primeira equação por -3 e em seguida somando, obtemos:
[tex3]\begin{cases}
-3m-9n=-54 \\
3m+n=30
\end{cases}[/tex3] +
-8n=-24 [tex3]\rightarrow n=3[/tex3]
Substituindo o valor encontrado de [tex3]n[/tex3] na primeira equação ficamos com:
[tex3]m+3n=18[/tex3]
[tex3]m+3.3=18\rightarrow m=9[/tex3]
Agora vamos voltar para as incógnitas [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
\log_{2}x=m \\
\log_{2}x=9 \\
x=2^{9}\rightarrow x=512 \\
................... \\
\log_{2}y=n \\
\log_{2}y=3
\therefore y=2^{3}\rightarrow y=8
\end{cases}[/tex3]
Portanto [tex3]\sqrt{x\times y}=\sqrt{8\times 512}=\sqrt{4096}=64\rightarrow \sqrt{x\times y}=64[/tex3]
Espero ter ajudado.
Att>> rodBR.
I) Para a existência dos logaritmos devemos ter: [tex3]x>0[/tex3] e [tex3]y>0[/tex3] .
II) Para encontrar o valor [tex3]\sqrt{x\times y}[/tex3] vamos primeiramente resolver o sistema.
Para o entendimento da resolução do sistema usei as propriedades a seguir:
i) [tex3]\log_{a}b^{\beta }=\beta \times \log_{a}b[/tex3]
ii) [tex3]\log_{a^{\beta }}b=\frac{1}{\beta }\times \log_{a}b[/tex3] ( é uma consequência da propriedade mudança de base)
[tex3]\begin{cases}
\log_{8}x+\log_{4}y^{2}=6
\\
\log_{4}x^{2}+\log_{8}y=10
\end{cases}\rightarrow\begin{cases}
\log_{2^{3}}x+\log_{2^{2}}y^{2}=6 \\
\log_{2^{2}}x^{2}+\log_{2^{3}}y=10
\end{cases}[/tex3]
Utilizando as duas propriedades citadas acima, teremos:
[tex3]\begin{cases}
\frac{1}{3}\log_{2}x+\frac{2}{2}.\log_{2}y=6 \\
\frac{2}{2}.\log_{2}x+\frac{1}{3}.\log_{2}y=10
\end{cases}[/tex3]
Multiplicando as duas equações por 3, Ficamos com:
[tex3]\begin{cases}
\log_{2}x+3.\log_{2}y=18 \\
3.\log_{2}x+\log_{2}y=30
\end{cases}[/tex3]
Fazendo [tex3]\log_{2}x=m[/tex3] e [tex3]\log_{2}y=n[/tex3] . O sistema resultante dessa mudança de incógnita, será:
[tex3]\begin{cases}
m+3n=18 \\
3m+n=30
\end{cases}[/tex3] . Multiplicando a primeira equação por -3 e em seguida somando, obtemos:
[tex3]\begin{cases}
-3m-9n=-54 \\
3m+n=30
\end{cases}[/tex3] +
-8n=-24 [tex3]\rightarrow n=3[/tex3]
Substituindo o valor encontrado de [tex3]n[/tex3] na primeira equação ficamos com:
[tex3]m+3n=18[/tex3]
[tex3]m+3.3=18\rightarrow m=9[/tex3]
Agora vamos voltar para as incógnitas [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] :
[tex3]\begin{cases}
\log_{2}x=m \\
\log_{2}x=9 \\
x=2^{9}\rightarrow x=512 \\
................... \\
\log_{2}y=n \\
\log_{2}y=3
\therefore y=2^{3}\rightarrow y=8
\end{cases}[/tex3]
Portanto [tex3]\sqrt{x\times y}=\sqrt{8\times 512}=\sqrt{4096}=64\rightarrow \sqrt{x\times y}=64[/tex3]
Espero ter ajudado.
Att>> rodBR.
Última edição: rodBR (Sex 24 Fev, 2017 17:47). Total de 3 vezes.
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Fev 2017
26
13:56
Re: (UFPE) Equações Logarítmicas
Valeu Rod pela didática e paciência deve ter dado um trabalhão fazer essa resolução 
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