Boa noite!
Vamos usar as fórmulas de
prostaferése.
De acordo com o link:
[tex3]\circ \sin(a) + \sin(b) = 2 \cdot \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{a-b}{2}\right) \\\\
\circ \sin(a) - \sin(b) = 2 \cdot \sin \left(\frac{a-b}{2} \right) \cdot \cos \left(\frac{a+b}{2} \right)[/tex3]
Aplicando na expressão do enunciado:
[tex3]Z = \frac{2 \cdot \sin\left( \frac{2x+2y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x-2y}{2} \right)}{2 \cdot \sin \left( \frac{2x-2y}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{2x+2y}{2} \right)} \therefore Z = \frac{\sin(x+y) \cdot \cos(x-y)}{\sin(x-y) \cdot \cos(x+y)} \therefore Z = \frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)} \cdot \frac{\cos(x-y)}{\sin(x-y)} \therefore \\\\ Z = \frac{\tan(x+y)}{\tan(x-y)}[/tex3]
Sabendo agora que [tex3]\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}[/tex3]
e que [tex3]\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1+ \tan a \cdot \tan b}[/tex3]
, temos:
[tex3]Z = \frac{\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y}}{\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y}} \therefore Z = \frac{\frac{a+b}{1-ab}}{\frac{a-b}{1+ab}} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ Z = \left[\frac{1+ab}{1-ab}\right] \cdot \left[ \frac{a+b}{a-b}\right]}}[/tex3]
Grande abraço,
Pedro.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."