Ensino Médio ⇒ Inequação quociente Tópico resolvido

[Rory]

Resolva a inequação [tex3]\frac{x² - x - 1}{\sqrt{x² - 3x}}\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{x² - x - 1}{\sqrt{x² - 3x}}\geq 0[/tex3]

As raízes que encontrei foram: [tex3]\frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

, [tex3]\frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex3]

, 0 e 3. Ao fazer o quadro de sinais, encontro: {x [tex3]\in \mathbb{R}| x\leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}| x\leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/tex3]

ou 0 < x [tex3]\leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]\leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

ou x > 3}, porém o gabarito é: {x [tex3]\in \mathbb{R}| x\leq \frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}| x\leq \frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3]

ou x>3}. Como acho a solução dessa questão?

[petras]

Entre 0 e 3 a função não está definida pois teremos raiz de um número negativo. Portanto o seu intervalo intermediário( 0< x [tex3]\leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]\leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

) não pode fazer parte da resposta.

[Rory]

Oi, desculpa, mas eu continuo sem entender a resposta do gabarito, pois ao fazer o quadro de sinais - acabei de refazê-lo, juro - o resultado contém o intervalo ]0; [tex3]\frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

] . Por favor, poderia me mostrar como achar a solução?

[LucasPinafi]

Nem precisa fazer o quadro de sinais. Basta ver que o denominador é sempre positivo, pois é uma raiz quadrada. Basta ver para qual(is) intervalo(s) a função está definida. Veja que [tex3]x^2 - 3x > 0 \therefore x(x-3) > 0 \therefore x < 0 \vee x > 3[/tex3]

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[tex3]x^2 - 3x > 0 \therefore x(x-3) > 0 \therefore x < 0 \vee x > 3[/tex3]

. Agora, seja [tex3]x^2 - x - 1 = 0 \therefore x = \frac{1 \pm \sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]x^2 - x - 1 = 0 \therefore x = \frac{1 \pm \sqrt 5}{2}[/tex3]

, então podemos escrever que [tex3]x^2 - x - 1 = \left( x - \frac{1 + \sqrt 5}{2} \right) \left( x - \frac{1 -\sqrt 5}{2} \right) \geq 0 \therefore x< \frac{1 - \sqrt 5}{2} \vee x > \frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]x^2 - x - 1 = \left( x - \frac{1 + \sqrt 5}{2} \right) \left( x - \frac{1 -\sqrt 5}{2} \right) \geq 0 \therefore x< \frac{1 - \sqrt 5}{2} \vee x > \frac{1+\sqrt 5}{2}[/tex3]

. Agora, basta juntar tudo. Assim, devemos ter [tex3]x>3[/tex3]

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[tex3]x>3[/tex3]

ou [tex3]x< \frac{1- \sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]x< \frac{1- \sqrt 5}{2}[/tex3]

.

[petras]

Lucas, creio que você esqueceu de incluir a raiz na resposta. Seria menor ou igual [tex3]x\leq \frac{1- \sqrt 5}{2}[/tex3]

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[tex3]x\leq \frac{1- \sqrt 5}{2}[/tex3]

.

[petras]

Roriz siga a resolução do Lucas.

Provavelmente você chegou no quadro de sinais abaixo e por isso está considerando [tex3]]0;\frac{1 + \sqrt{5}}{2}][/tex3]

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[tex3]]0;\frac{1 + \sqrt{5}}{2}][/tex3]

como resposta.

Mas você deve atentar-se ao intervalo onde a função está definida:[tex3]x^2 - 3x > 0 \therefore x(x-3) > 0 \therefore x < 0 \vee x > 3[/tex3]

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[tex3]x^2 - 3x > 0 \therefore x(x-3) > 0 \therefore x < 0 \vee x > 3[/tex3]

, portanto o intervalo [tex3]]0;\frac{1 + \sqrt{5}}{2}][/tex3]

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[tex3]]0;\frac{1 + \sqrt{5}}{2}][/tex3]

não atende esta condição e assim a função não esta definida neste intervalo pois teríamos uma fração com denominador zero ou uma raiz negativa.

[Rory]

Ok, professores! Muito obrigada pela atenção!