Resolução da questão 22
Fatos importantes:
1.Lei dos senos
[tex3]\frac{a}{sen(A)}=\frac{b}{sen(B) }=\frac{c}{sen(C)}[/tex3]
2.Lei de Snell
[tex3]n_1.sen(\theta _1)=n_2.sen(\theta _2)[/tex3]
O raio de luz sairá da superfície do planeta formando um ângulo de 60° com a normal, como mostra a figura:
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Sabemos,pela lei de Snell,que:
[tex3]n_o.sen(\theta _o)=n_1.sen(\theta _1)[/tex3]
[tex3]n_0.sen(\theta _0)=0,9n_o.sen(\theta _1)[/tex3]
[tex3]sen(\theta _o)=0,9sen(\theta _1)[/tex3]
[tex3]\rightarrow (1)[/tex3]
Sabemos,pela lei dos senos,que:
[tex3]\frac{R+1}{sen\alpha }=\frac{R}{sen\theta _O}\rightarrow (2)[/tex3]
Isolando [tex3]sen\theta _o[/tex3]
em (2), substituindo em (1), e por fim isolando [tex3]sen\theta _1[/tex3]
,temos:
[tex3]sen(\theta _1)=\frac{Rsen\alpha }{0,9(R+1)}[/tex3]
Repetindo o mesmo processo para a refração da camada de indice [tex3]n_1[/tex3]
para a camada de índice [tex3]n_2[/tex3]
, e depois substituindo valor de [tex3]sen\theta _1 [/tex3]
já obtido,chegaremos no seguinte resultado:
[tex3]sen\theta _2=\frac{sen\alpha .R}{(R+2).0,9^{2}}[/tex3]
Observando o padrão, podemos generalizar o seno do ângulo do raio refratado com a normal, para K camadas, da seguinte forma:
[tex3]sen(\theta _k)=sen\alpha .(\frac{R}{R+k}).\frac{1}{0,9^{k}}[/tex3]
Agora , É de fundamental importância notar que:
1.O ângulo [tex3]\alpha=30°\rightarrow sen\alpha =0,5[/tex3]
.
2.Como k é no máximo 9,e R é 6370km,temos que R+k vale praticamente R.
Agora,como não sabemos em que camada o raio de luz refletirá totalmente, devemos considerar que o seno do ângulo [tex3]\theta _K[/tex3]
vale 1,isto é, o raio sairá rasante com a camada em questão, portanto, temos que:
[tex3]1=\frac{1.6370}{2.6370.0,9^{k}}[/tex3]
[tex3]0,9^{k}=2^{-1}[/tex3]
Aplicando log em ambos os lados:
[tex3]k.log(0,9)=-1.log2[/tex3]
[tex3]k.(log9-log10)=-0,3[/tex3]
[tex3]k.(-0,05)=-0,3[/tex3]
[tex3]k=\frac{0,3}{0,05}[/tex3]
[tex3]k=6[/tex3]
Como cada camada tem 1km,e a reflexão total ocorre da 6° para a 7° camada,temos que a altura máxima atingida pelo raio até refletir totalmente mede
7km.
Problema 23
Um recipiente de vidro contendo gás tem uma lente convergente e uma fonte sonora presas a um
suporte (A) que desliza no trilho (B) a velocidade constante. Um feixe laser (C), que ilumina o objeto (D),
forma imagens reais nítidas por duas vezes em (E), separadas por uma diferença de tempo Δt, sendo
que, entre a formação dessas duas imagens, chegam n bips (pulsos sonoros de mesma duração) no
detector (F) e n − 1 bips são emitidos pela fonte sonora. Considerando que o comprimento do recipiente
é L e a distância focal da lente é f, determine a velocidade do som no gás.
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