Ensino Médio ⇒ Inequação-produto Tópico resolvido

[paulojorge]

Determine, em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

, a solução da inequação [tex3](3x - 2)^{3}. (x-5)^{2}.(2-x)x>0.[/tex3]

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[tex3](3x - 2)^{3}. (x-5)^{2}.(2-x)x>0.[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x\in \mathbb{R} |x < 0 ou \frac{2}{3} < x < 2[/tex3]

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[tex3]x\in \mathbb{R} |x < 0 ou \frac{2}{3} < x < 2[/tex3]

[danjr5]

Olá Paulo Jorge, boa tarde!

Inicialmente, temos o seguinte: o fator [tex3]\mathsf{(x - 5)^2}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(x - 5)^2}[/tex3]

é sempre positivo, e, como o sinal da desigualdade é MAIOR, portanto "positivo", podemos desconsiderá-lo.

Desse modo, devemos solucionar [tex3]\mathsf{(3x - 2)^3 \cdot (2 - x) \cdot x > 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{(3x - 2)^3 \cdot (2 - x) \cdot x > 0}[/tex3]

.

Bom! sabemos que uma inequação-produto é resolvida estudando o sinal termo a termo. Isto posto, segue que:

Fator I:

[tex3]\\ \mathsf{(3x - 2)^3 > 0} \\\\ \mathsf{3x - 2 > 0} \\\\ \mathsf{3x > 2} \\\\ \mathsf{x > \dfrac{2}{3}}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathsf{(3x - 2)^3 > 0} \\\\ \mathsf{3x - 2 > 0} \\\\ \mathsf{3x > 2} \\\\ \mathsf{x > \dfrac{2}{3}}[/tex3]

Fator II:

[tex3]\\ \mathsf{(2 - x) > 0} \\ \mathsf{2 - x > 0} \\ \mathsf{- x > - 2} \\ \mathsf{x < 2}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathsf{(2 - x) > 0} \\ \mathsf{2 - x > 0} \\ \mathsf{- x > - 2} \\ \mathsf{x < 2}[/tex3]

Fator III:

[tex3]\mathsf{x > 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x > 0}[/tex3]

Por fim,

I) ___-_____________-_____(2/3)___+___________+______
II) ___-_____(0)_____+____________+___________+_____
III) ___+____________+_____________+______(2)___-_____
S ___+_____(0)_____-_____(2/3)___+______(2)___-______

Associando o sinal da desigualdade (>) com (+) em S, concluímos que: [tex3]\boxed{\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{R} \, | \, x < 0 \ \cup \ \frac{2}{3} < x < 2\right \}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{S = \left \{ x \in \mathbb{R} \, | \, x < 0 \ \cup \ \frac{2}{3} < x < 2\right \}}}[/tex3]

[paulojorge]

Obrigado mano (:

[Killin]

Muito bom.