Ensino Médio ⇒ Equação trigonométrica Tópico resolvido

[ARTHUR36]

Gostaria de ajuda com a questão:
Para quais valores de p,a equação tg px= cotg px tem x=pi/2 para raiz.

[csmarcelo]

[tex3]\tan\frac{p\pi}{2}=\cot\frac{p\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\tan\frac{p\pi}{2}=\cot\frac{p\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\tan\frac{p\pi}{2}=\frac{1}{\tan\frac{p\pi}{2}}[/tex3]

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[tex3]\tan\frac{p\pi}{2}=\frac{1}{\tan\frac{p\pi}{2}}[/tex3]

[tex3]\tan^2\frac{p\pi}{2}=1[/tex3]

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[tex3]\tan^2\frac{p\pi}{2}=1[/tex3]

[tex3]\tan\frac{p\pi}{2}=\pm1[/tex3]

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[tex3]\tan\frac{p\pi}{2}=\pm1[/tex3]

[tex3]\frac{p\pi}{2}=\begin{cases}\frac{\pi}{4}+k\pi\ (I)\\\frac{3\pi}{4}+k\pi\ (II)\end{cases},k\in\mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]\frac{p\pi}{2}=\begin{cases}\frac{\pi}{4}+k\pi\ (I)\\\frac{3\pi}{4}+k\pi\ (II)\end{cases},k\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3](I)[/tex3]

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[tex3](I)[/tex3]

[tex3]\frac{p\pi}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex3]

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[tex3]\frac{p\pi}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex3]

[tex3]p=2k+\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]p=2k+\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3](II)[/tex3]

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[tex3](II)[/tex3]

[tex3]\frac{p\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}+k\pi[/tex3]

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[tex3]\frac{p\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}+k\pi[/tex3]

[tex3]p=2k+\frac{3}{2}[/tex3]

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[tex3]p=2k+\frac{3}{2}[/tex3]

E outras palavras,

[tex3]p\in\left\{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\pm\frac{5}{2},\pm\frac{7}{2},\pm\frac{9}{2},...\right\}[/tex3]

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[tex3]p\in\left\{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\pm\frac{5}{2},\pm\frac{7}{2},\pm\frac{9}{2},...\right\}[/tex3]

[ARTHUR36]

Muito obrigado

[jeabud]

csmarcelo, poderia me ajudar nessa mesma questão ... só q para intervalo [0,2 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

]

[tex3]p\in\left\{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\pm\frac{5}{2},\pm\frac{7}{2}\right\}[/tex3]

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[tex3]p\in\left\{\pm\frac{1}{2},\pm\frac{3}{2},\pm\frac{5}{2},\pm\frac{7}{2}\right\}[/tex3]

K = 0, k = 1 (anda “[tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

”) e k = 2 (anda 2 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

—> só q passa Do intervalo proposto)

Ficando somente valores pra k = 0 e k = 1 seria isso o raciocínio?
Grato

[csmarcelo]

Isso aí.

[tex3]0\leq\frac{p\pi}{2}\leq2\pi[/tex3]

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[tex3]0\leq\frac{p\pi}{2}\leq2\pi[/tex3]

[tex3]0\leq p\pi\leq4\pi[/tex3]

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[tex3]0\leq p\pi\leq4\pi[/tex3]

[tex3]0\leq p\leq4[/tex3]

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[tex3]0\leq p\leq4[/tex3]

[tex3]p\geq0\implies 2k+\frac{1}{2}\geq0\therefore k\geq0[/tex3]

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[tex3]p\geq0\implies 2k+\frac{1}{2}\geq0\therefore k\geq0[/tex3]

[tex3]p\leq4\implies 2k+\frac{3}{2}\leq4\therefore k\leq1[/tex3]

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[tex3]p\leq4\implies 2k+\frac{3}{2}\leq4\therefore k\leq1[/tex3]