Ensino Médio

Sendo f(x) = $\sqrt{1 - 4x^{2}}$ e g( $\theta$ ) = sen 2 $\theta$ , encontre os valores de $\theta$ para os quais f o g se anula.

Não sei nem por onde começar

Resposta

$\theta$ = $\pm$ $\frac{\pi }{12}$ + k $\pi$ , $\theta$ = $\frac{5\pi }{12}$ + k $\pi$ ou $\theta$ = $\frac{7\pi }{12}$ + k $\pi$

Sendo $f(x) = \sqrt{1 - 4x^{2}}$ e $g(\theta) = sen 2\theta$ , encontre os valores de $\theta$ para os quais f o g se anula.

Queremos que: $f(g(\theta)) = 0$ , ou seja queremos um certo x em que $f(x) = 0$ .

Temos então que:
$f(x) = \sqrt{1 - 4x^{2}} \;\; \rightarrow \;\; \sqrt{1 - 4x^{2}} = 0 \;\; \rightarrow \;\; 1-4x^2 = 0 \;\; \rightarrow \;\; 4x^2 = 1 \;\; \rightarrow \;\; \\ \rightarrow \;\; x^2 = \frac{1}{4} \;\; \rightarrow \;\; x = \pm \frac{1}{2}$

Logo temos que $f(g(\theta)) = 0$ e descobrimos que $f\left(\pm \frac{1}{2} \right) = 0$ .
Portanto temos que: $g(\theta) = \pm \frac{1}{2}$ .
Ou seja, temos que: $sen2\theta = \pm \frac{1}{2}$

Para descobrirmos o valor de $\theta$ fazemos:
$sen2\theta = \pm \frac{1}{2} \;\; \rightarrow \;\; 2\theta = arcsen\left(\pm \frac{1}{2} \right) \;\; \\\\ \rightarrow \;\; 2\theta = \pm 0.52\;\text{rad} \;\; \rightarrow \;\; \theta = \pm 0.26 \;\text{rad}$

Rafa,

Você não considerou todos os ângulos possíveis. Não se esqueça de que sempre existem dois ângulos associados a um valor de seno qualquer.

Além disso, como $\frac{1}{2}$ corresponde ao seno de um ângulo notável, dispensa aproximações.

Se $\sin2\theta=\frac{1}{2}$ ,

Então,

$2\theta\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\frac{7\pi}{6}\frac{11\pi}{6}\right\}$

Logo,

$\theta\in\left\{\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\frac{7\pi}{12}\frac{11\pi}{12}\right\}$

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