Pré-Vestibular

cicero444

O piso de uma sala é revestida com lajotas quadradas de dois tamanhos distintos, combinadas no padrão representado na figura. As linhas tracejadas representam dois riscos, que formam um ângulo de 30º , e que foram feitos no piso ao se arrastar, inadvertidamente, um móvel pesado,

: quadradinhos.png (20.11 KiB) Exibido 1429 vezes

Com base nessas informações e analisando-se a figura, pode-se afirmar que a razão entre as áreas de um quadrado maior e um quadrado menor é:
a) 2 - [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
b) 7 - 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
c) 2 + [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
d) 7
e) 7 + 4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

Considere a figura a seguir, e chamando o lado do quadrado maior de L e o lado do quadrado menor de $\ell$ :

: quadrados.jpg (14.22 KiB) Exibido 1422 vezes

Note que no triângulo destacado em vermelho, o ângulo da base é 75°, então:
$\tan 75^o=\frac{2L}{2\ell}$
$\tan(45^o+30^o)=\frac{L}{\ell}$
$\frac{\tan 45^o+\tan 30^o}{1-\tan 45^0\cdot \tan 30^o}=\frac{L}{\ell}$
$\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-1\cdot \frac{\sqrt3}{3}}=\frac{L}{\ell}$
$\frac{\frac{3+\sqrt3}{3}}{\frac{3-3\sqrt3}{3}}=\frac{L}{\ell}$
$\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\frac{L}{\ell}$
$\frac{\left(3+\sqrt3\right)^2}{6}=\frac{L}{\ell}$
$2+\sqrt3=\frac{L}{\ell}$

Espero ter ajudado!
A relação entre as a´rea dos quadrados será:
$\frac{L^2}{\ell^2}=\left(2+\sqrt3\right)^2$
$\frac{L^2}{\ell^2}=7+4\sqrt3$

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