Ensino Superior ⇒ Derivada: Equação da reta tangente

[carolzinhag3]

Encontre as equações para as retas que são tangentes a elipse [tex3]\ \frac{x^2}{4}+ y^2 =1\[/tex3]

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[tex3]\ \frac{x^2}{4}+ y^2 =1\[/tex3]

e passam pelo ponto (0,2)


*se puderem explicar de forma detalhada, ficarei grata.

[LucasPinafi]

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[tex3]\frac{x^2} 4 + y^2 = 1 \therefore \frac{x}{4} + y \frac{dy}{dx } = 0 \therefore \frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4y}[/tex3]

Assim, a equação da reta tangente à elipse no ponto (x,y) é:

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[tex3]Y - y = - \frac{x}{4y} (X-x)[/tex3]

(veja que usei X no papel de x, e x no lugar de

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[tex3]x_0[/tex3]

para não carregar a notação). Porém, sabemos que

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[tex3]\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \therefore y = \pm \frac 1 2 \sqrt{4-x^2}[/tex3]

Consideremos apenas a parte positiva (porquê?)

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[tex3]Y - \frac 1 2 \sqrt{4-x^2} = - \frac{x}{2\sqrt{4-x^2}} (X-x)[/tex3]

. Porém, a reta deve passar pelo ponto (0,2). Assim,

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[tex3]2 - \frac{1}{2}\sqrt{4- x^2} = - \frac{x}{2\sqrt{4 - x^2} }(0-x) \therefore 2 = \frac{x^2}{2\sqrt{4-x^2}} + \frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} \\ \frac{x^2 + 4 - x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = 2 \therefore \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} =2 \therefore \sqrt{4-x^2} = 1 \therefore 4-x^2 = 1 \\ x^2 = 3 \therefore x = \pm \sqrt 3[/tex3]

Assim, temos que

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[tex3]\frac{3}{4} + y^2 = 1 \therefore y = \frac{1}{2}[/tex3]

. As retas são:

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[tex3]y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt 3}{2} (x +\sqrt 3)[/tex3]

e

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[tex3]y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt 3 x}{2} (x - \sqrt 3 )[/tex3]

[carolzinhag3]

desculpa a ignorância, mas na primeira linha a derivada de x² e y² não deveria ser 2x e 2y, respectivamente?

[ALEXZOE]

Colega, vc poderia explicar o motivo de considerar apenas a parte positiva do valor de y.
obg.

[ALEXZOE]

entendi... desenvolvendo para o b negativo não pertence a R (conjunto dos reais). MAS, como passam pelo ponto (0,2), elas não devem ser da forma:

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[tex3](y - 2) = m (x - 0)[/tex3]

, onde m é o coeficiente angular?
Assim, achei as seguintes equações:

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[tex3](y - 2) = - \frac{\sqrt 3}{2} (x - 0)[/tex3]

e

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[tex3](y - 2) = \frac{\sqrt 3}{2} (x - 0)[/tex3]

.

E AGORA?

[LucasPinafi]

mano, são as mesmas equações q as minhas kkk dá uma olhada

[ALEXZOE]

verdade... Que coisa... Kkkk....
Vida que segue....