Ensino SuperiorDerivada: Equação da reta tangente

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carolzinhag3
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Out 2016 03 18:50

Derivada: Equação da reta tangente

Mensagem não lida por carolzinhag3 » Seg 03 Out, 2016 18:50

Encontre as equações para as retas que são tangentes a elipse \ \frac{x^2}{4}+ y^2 =1\ e passam pelo ponto (0,2)


*se puderem explicar de forma detalhada, ficarei grata.

Última edição: carolzinhag3 (Seg 03 Out, 2016 18:50). Total de 1 vez.



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Out 2016 04 00:24

Re: Derivada: Equação da reta tangente

Mensagem não lida por LucasPinafi » Ter 04 Out, 2016 00:24

\frac{x^2} 4 + y^2 = 1 \therefore \frac{x}{4} + y \frac{dy}{dx } = 0 \therefore \frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4y}
Assim, a equação da reta tangente à elipse no ponto (x,y) é:
Y - y = - \frac{x}{4y} (X-x) (veja que usei X no papel de x, e x no lugar de x_0 para não carregar a notação). Porém, sabemos que \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \therefore y = \pm \frac 1 2 \sqrt{4-x^2}
Consideremos apenas a parte positiva (porquê?)
Y - \frac 1 2 \sqrt{4-x^2} = - \frac{x}{2\sqrt{4-x^2}} (X-x). Porém, a reta deve passar pelo ponto (0,2). Assim,
2 - \frac{1}{2}\sqrt{4- x^2} = - \frac{x}{2\sqrt{4 - x^2} }(0-x) \therefore  2 = \frac{x^2}{2\sqrt{4-x^2}} + \frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}  \\ \frac{x^2 + 4 - x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = 2 \therefore \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} =2 \therefore \sqrt{4-x^2} = 1 \therefore 4-x^2 = 1 \\ x^2 = 3 \therefore x = \pm \sqrt 3
Assim, temos que \frac{3}{4} + y^2 = 1 \therefore y = \frac{1}{2}. As retas são:
y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt 3}{2} (x +\sqrt 3) e y - \frac{1}{2}  = - \frac{\sqrt 3 x}{2} (x - \sqrt 3 )

Última edição: LucasPinafi (Ter 04 Out, 2016 00:24). Total de 1 vez.


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Out 2016 04 14:35

Re: Derivada: Equação da reta tangente

Mensagem não lida por carolzinhag3 » Ter 04 Out, 2016 14:35

desculpa a ignorância, mas na primeira linha a derivada de x² e y² não deveria ser 2x e 2y, respectivamente?



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Out 2016 13 15:32

Re: Derivada: Equação da reta tangente

Mensagem não lida por ALEXZOE » Qui 13 Out, 2016 15:32

Colega, vc poderia explicar o motivo de considerar apenas a parte positiva do valor de y.
obg.



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Out 2016 13 15:57

Re: Derivada: Equação da reta tangente

Mensagem não lida por ALEXZOE » Qui 13 Out, 2016 15:57

entendi... desenvolvendo para o b negativo não pertence a R (conjunto dos reais). MAS, como passam pelo ponto (0,2), elas não devem ser da forma: (y - 2) = m (x - 0), onde m é o coeficiente angular?
Assim, achei as seguintes equações:

(y - 2) = - \frac{\sqrt 3}{2} (x - 0) e (y - 2) =  \frac{\sqrt 3}{2} (x - 0).

E AGORA?
Última edição: ALEXZOE (Qui 13 Out, 2016 15:57). Total de 1 vez.



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Out 2016 13 23:20

Re: Derivada: Equação da reta tangente

Mensagem não lida por LucasPinafi » Qui 13 Out, 2016 23:20

mano, são as mesmas equações q as minhas kkk dá uma olhada


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Out 2016 13 23:24

Re: Derivada: Equação da reta tangente

Mensagem não lida por ALEXZOE » Qui 13 Out, 2016 23:24

verdade... Que coisa... Kkkk....
Vida que segue....




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