Pré-Vestibular ⇒ (EBMSP Medicina - 2016.1 Fase 1) Geometria Tópico resolvido

[mlcosta]

Na figura, a malha é formada por quadrados do mesmo tamanho cujos lados representam ruas de determinado bairro onde o deslocamento de veículos só é permitido no sentido leste ou norte e ao longo das ruas representadas pelas linhas.

Mat.jpg (20.67 KiB) Exibido 20900 vezes

Nessas condições, o menor percurso para ir de P até R, sem passar por Q, pode ser feito por um número máximo de formas distintas igual a

1) 115
2) 75
3) 54
4) 36
5) 15

[undefinied3]

Calculemos de quantas maneiras possiveis podemos ir de P até R, podendo passar por Q. Trata-se de uma permutação com repetição de 8 movimentos para a direita e 3 movimentos para cima, ou seja, 11 movimentos. [tex3]P_{11}^{3,8}=\frac{11!}{3!8!}=\frac{11.10.9}{3.2}=165[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_{11}^{3,8}=\frac{11!}{3!8!}=\frac{11.10.9}{3.2}=165[/tex3]

Agora vem a parte mais difícil, para tiramos os casos que passamos pelo ponto Q, precisamos ver quantos são os casos que podemos sair de P e chegar em Q e multiplicar pelo número de casos que saimos de Q e chegamos em R. Subtraindo esse valor do total, encontramos o resultado desejado.
Sair de P e chegar em Q: 6 movimentos, 5 para direita e 1 para cima: [tex3]P_6^{1,5}=\frac{6!}{5!}=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_6^{1,5}=\frac{6!}{5!}=6[/tex3]

Sair de Q e chegar em R: 5 movimentos, 3 para direita e 2 para cima: [tex3]P_5^{2,3}=\frac{5!}{2!3!}=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_5^{2,3}=\frac{5!}{2!3!}=10[/tex3]

[tex3]6.10=60[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6.10=60[/tex3]

[tex3]165 - 60 = 105[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]165 - 60 = 105[/tex3]

Tem algo de errado com o gabarito? Ou eu errei alguma coisa?

[mlcosta]

Undefinied, te peço desculpa por não olhar o gabarito antes, mas a questão está como ANULADA, e talvez por não conter sua resposta como uma das alternativas. Mais uma vez desculpa e da próxima vez verificarei antes pra ver se alguma questão não foi anulada.

[mlcosta]

Calculemos de quantas maneiras possiveis podemos ir de P até R, podendo passar por Q. Trata-se de uma permutação com repetição de 8 movimentos para a direita e 3 movimentos para cima, ou seja, 11 movimentos. [tex3]P_{11}^{3,8}=\frac{11!}{3!8!}=\frac{11.10.9}{3.2}=165[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_{11}^{3,8}=\frac{11!}{3!8!}=\frac{11.10.9}{3.2}=165[/tex3]

Agora vem a parte mais difícil, para tiramos os casos que passamos pelo ponto Q, precisamos ver quantos são os casos que podemos sair de P e chegar em Q e multiplicar pelo número de casos que saimos de Q e chegamos em R. Subtraindo esse valor do total, encontramos o resultado desejado.
Sair de P e chegar em Q: 6 movimentos, 5 para direita e 1 para cima: [tex3]P_6^{1,5}=\frac{6!}{5!}=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_6^{1,5}=\frac{6!}{5!}=6[/tex3]

Sair de Q e chegar em R: 5 movimentos, 3 para direita e 2 para cima: [tex3]P_5^{2,3}=\frac{5!}{2!3!}=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P_5^{2,3}=\frac{5!}{2!3!}=10[/tex3]

[tex3]6.10=60[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6.10=60[/tex3]

[tex3]165 - 60 = 105[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]165 - 60 = 105[/tex3]

Tem algo de errado com o gabarito? Ou eu errei alguma coisa?

OIá Undefinied, entendi sua resolução, mas, vendo a figura abaixo, não temos mais opções de ir de P a R passando por Q? E ainda há mais opções além das que mostro abaixo. E, como são quadrados, todos os percursos têm o mesmo tamanho.

Mat.jpg (26.74 KiB) Exibido 20876 vezes

[undefinied3]

Mais do que 60? Olha, mesmo que eu tenha errado algo, mas acho que não, é meio difícil dar mais haha. O que eu fiz foi o seguinte:
De fato, o número de movimentos é fixo, são 11 sempre. Se quisermos sair de P e chegar em R, passando Q, temos que, obviamente, chegar em Q no meio do caminho. Como só podemos andar pra cima ou pra direita, só podemos fazer 1 movimento para cima e 5 para direita, pois não podemos voltar pra esquerda ou pra baixo. Assim, de P até Q, são 6 movimentos que podemos permutar com 5 repetições (os pra direita) e 1 repetições (os pra cima). Daí saiu o resultado 6.
Agora que estamos em Q, precisamos garantir que chegamos em R. Ora, faltam 5 movimentos, 3 pra direita e 2 pra cima em alguma ordem qualquer. O número de possibilidades, novamente, é dado pela permutação que terá 10 como resultado.
Temos o número de maneiras de chegar em Q partindo de P e o número de maneiras de chegar em R partindo de Q. Se quisermos de P até R, passando por Q, basta multiplicar os dois resultados como já feito, 6.10=60. Não deve haver nem mais nem menos possibilidades de chegar em R passando-se por Q.

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Mais do que 60? Olha, mesmo que eu tenha errado algo, mas acho que não, é meio difícil dar mais haha. O que eu fiz foi o seguinte:
De fato, o número de movimentos é fixo, são 11 sempre. Se quisermos sair de P e chegar em R, passando Q, temos que, obviamente, chegar em Q no meio do caminho. Como só podemos andar pra cima ou pra direita, só podemos fazer 1 movimento para cima e 5 para direita, pois não podemos voltar pra esquerda ou pra baixo. Assim, de P até Q, são 6 movimentos que podemos permutar com 5 repetições (os pra direita) e 1 repetições (os pra cima). Daí saiu o resultado 6.
Agora que estamos em Q, precisamos garantir que chegamos em R. Ora, faltam 5 movimentos, 3 pra direita e 2 pra cima em alguma ordem qualquer. O número de possibilidades, novamente, é dado pela permutação que terá 10 como resultado.
Temos o número de maneiras de chegar em Q partindo de P e o número de maneiras de chegar em R partindo de Q. Se quisermos de P até R, passando por Q, basta multiplicar os dois resultados como já feito, 6.10=60. Não deve haver nem mais nem menos possibilidades de chegar em R passando-se por Q.

Tudo bem Undefinied, eu que fiz uma análise errada quando lhe enviei a mensagem. Mas entendi sua resolução e está correta. Essa questão foi anulada pq não continha a resposta correta, que fai a que você calculou. Valeu mesmo e muito obrigado!!