Ensino Superior ⇒ Curva de Agnesi - Parametrização

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Toplel94
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Fev 2016 17 21:24

Curva de Agnesi - Parametrização

Mensagem não lidapor Toplel94 » 17 Fev 2016, 21:24

Mensagem não lida por Toplel94 »

Uma haste, presa na origem do plano xy, ocupa a posição da reta que faz um ângulo \theta radianos com eixo positivo dos x. A haste intercepta a reta y=2a no ponto A e a circunferênciax^2 +(y-a)^2=a^2 no ponto B. Quando \theta varia, o vértice P do triângulo APB descreve uma curva chamada curva de Agnesi.
Agnesi.png
Agnesi.png (11.45 KiB) Exibido 2842 vezes
a) Mostre que \phi(\theta) =\left(2a cotg(\theta),2asen^2(\theta)\right) é uma parametrização da curva de Agnesi.

b) Determine sua equação cartesiana.

Resposta
b) y=\dfrac{8a^3}{x^2+a^2}
Editado pela última vez por Toplel94 em 17 Fev 2016, 21:24, em um total de 2 vezes.
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LucasPinafi
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Fev 2016 18 00:17

Re: Curva de Agnesi - Parametrização

Mensagem não lidapor LucasPinafi » 18 Fev 2016, 00:17

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Fiz aqui, mas a b não bateu com a gabarito.. da uma conferida.
a) Veja que, sendo P(x,y), então y estará sobre a reta suporte que passa pelo ponto (0, y) e por B e x estará sobre a reta suporte que passa por (x, 0) e por A.
Sabemos que a haste faz um ângulo \theta com o eixo positivo do eixo x e que ela passa pelo ponto (0, 0). Logo, tal reta está bem definida. Sua equação é:
y= x\cdot \tan \theta
Vamos calcular a coordenada y do ponto B:
x^2+(y-a)^2 = a^2 \therefore x^2 +(x \cdot \tan \theta - a)^2 = a^2 \therefore x^2(1+\tan^2 \theta)= 2 a x \tan \theta
como x\neq 0, segue que:
x = \frac{2a \tan \theta}{1+ \tan^2 \theta}
de modo que,
y = x \cdot \tan \theta = \frac{2a \tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}= 2a \sin^2 \theta
Da mesma forma, temos que calculando a coordenada x do ponto A, temos que:
y= 2a = x \tan \theta \therefore x = 2a \cot \theta
Portanto, segue que r(t) = (2a \cot \theta , 2a \sin^2 \theta) é equação paramétrica da curva.
b) Para escrevermos as coordenadas cartesianas dessa curva, devemos relacionar x e y. Para isso, basta fazermos:
x = 2a \cot \theta = 2a \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \therefore x^2 = 4a^2 \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}
somando 4a² em ambos membros da equação acima,
x^2 + 4a^2 = 4a^2 \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}+1 \right) =\frac{4a^2}{\sin^2 \theta}
mas, temos que y= 2a \sin^2 \theta \therefore \sin^2 \theta = \frac{y}{2a}, de forma que:
x^2 + 4a^2 = \frac{4a^2}{\dfrac{y}{2a}} \therefore y = \frac{8a^3}{x^2 + 4a^2}
se achar algum erro, por favor me avise. Vlw
Editado pela última vez por LucasPinafi em 18 Fev 2016, 00:17, em um total de 2 vezes.
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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Toplel94
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Mar 2016 24 19:51

Re: Curva de Agnesi - Parametrização

Mensagem não lidapor Toplel94 » 24 Mar 2016, 19:51

Mensagem não lida por Toplel94 »

LucasPinafi escreveu:Fiz aqui, mas a b não bateu com a gabarito.. da uma conferida.
a) Veja que, sendo P(x,y), então y estará sobre a reta suporte que passa pelo ponto (0, y) e por B e x estará sobre a reta suporte que passa por (x, 0) e por A.
Sabemos que a haste faz um ângulo \theta com o eixo positivo do eixo x e que ela passa pelo ponto (0, 0). Logo, tal reta está bem definida. Sua equação é:
y= x\cdot \tan \theta
Vamos calcular a coordenada y do ponto B:
x^2+(y-a)^2 = a^2 \therefore x^2 +(x \cdot \tan \theta - a)^2 = a^2 \therefore x^2(1+\tan^2 \theta)= 2 a x \tan \theta
como x\neq 0, segue que:
x = \frac{2a \tan \theta}{1+ \tan^2 \theta}
de modo que,
y = x \cdot \tan \theta = \frac{2a \tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}= 2a \sin^2 \theta
Da mesma forma, temos que calculando a coordenada x do ponto A, temos que:
y= 2a = x \tan \theta \therefore x = 2a \cot \theta
Portanto, segue que r(t) = (2a \cot \theta , 2a \sin^2 \theta) é equação paramétrica da curva.
b) Para escrevermos as coordenadas cartesianas dessa curva, devemos relacionar x e y. Para isso, basta fazermos:
x = 2a \cot \theta = 2a \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \therefore x^2 = 4a^2 \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}
somando 4a² em ambos membros da equação acima,
x^2 + 4a^2 = 4a^2 \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}+1 \right) =\frac{4a^2}{\sin^2 \theta}
mas, temos que y= 2a \sin^2 \theta \therefore \sin^2 \theta = \frac{y}{2a}, de forma que:
x^2 + 4a^2 = \frac{4a^2}{\dfrac{y}{2a}} \therefore y = \frac{8a^3}{x^2 + 4a^2}
se achar algum erro, por favor me avise. Vlw

Estava revisando aqui e me gerou uma dúvida:
x=\dfrac{2a \tan \theta}{1+\tan \theta}=\dfrac{2a \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\sec^2 \theta}=\dfrac{2a \frac{\sin}{\cos}}{\frac{1}{cos^2 \theta}}=\dfrac{2a \sin \theta \cdot \cos^2 \theta}{\cos \theta}=2a \sin \theta \cdot \cos \theta. Por que não cheguei a cotangente? Esse x seria outra parametrização válida?

Acabei de verificar, a parametrização com x= 2a \cot \theta não fecha na parametrizaçã, porém a dada acima conseguiu fazer igualdade bater quando substitui na circunferência.
Editado pela última vez por Toplel94 em 24 Mar 2016, 19:51, em um total de 1 vez.
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