A lei de decaimento do rádium no tempo t [tex3]\geq 0[/tex3]
é dada por M(t) = C [tex3]e^{-kt}[/tex3]
em que M(t) é a quantidade de rádium no tempo t; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Se a metade da quantidade primitiva M(0) decai em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?
R = [tex3](1-2^{\frac{-1}{16}})[/tex3]
da quantidade inicial
Ensino Médio ⇒ Equações Exponenciais Tópico resolvido
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MPSantos
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Mar 2016
20
18:43
Re: Equações Exponenciais
Hey...
"A metade da quantidade primitiva [tex3]M(0)[/tex3] decai em 1600 anos..."
[tex3]M(1600)=\frac{M(0)}{2}[/tex3]
[tex3]Ce^{-1600k}=\frac{Ce^{-0k}}{2}[/tex3]
[tex3]Ce^{-1600k}=\frac{C}{2}[/tex3]
[tex3]e^{-1600k}=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]-1600k=ln\(\frac{1}{2}\)[/tex3]
[tex3]k=\frac{ln\(\frac{1}{2}\)}{-1600}[/tex3]
[tex3]k=\frac{-ln2}{-1600}[/tex3]
[tex3]k=\frac{ln2}{1600}[/tex3]
"...qual a quantidade perdida em 100 anos?"
Queremos portanto calcular [tex3]M(0)-M(100)[/tex3] .
[tex3]M(0)-M(100)=C-Ce^{-100k}=C-Ce^{-100\frac{ln2}{1600}}=C-Ce^{-\frac{ln2}{16}}=C-Ce^{-\frac{1}{16}ln2}=C-Ce^{ln2^{-\frac{1}{16}}}=C-C\times2^{-\frac{1}{16}}[/tex3]
[tex3]M(0)-M(100)=C(1-2^{-\frac{1}{16}})=[/tex3]
Portanto, a quantidade perdida em 100 anos é [tex3]C(1-2^{-\frac{1}{16}})[/tex3] que corresponde a [tex3](1-2^{\frac{-1}{16}})[/tex3] da quantidade inicial.
Cumprimentos.
"A metade da quantidade primitiva [tex3]M(0)[/tex3] decai em 1600 anos..."
[tex3]M(1600)=\frac{M(0)}{2}[/tex3]
[tex3]Ce^{-1600k}=\frac{Ce^{-0k}}{2}[/tex3]
[tex3]Ce^{-1600k}=\frac{C}{2}[/tex3]
[tex3]e^{-1600k}=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]-1600k=ln\(\frac{1}{2}\)[/tex3]
[tex3]k=\frac{ln\(\frac{1}{2}\)}{-1600}[/tex3]
[tex3]k=\frac{-ln2}{-1600}[/tex3]
[tex3]k=\frac{ln2}{1600}[/tex3]
"...qual a quantidade perdida em 100 anos?"
Queremos portanto calcular [tex3]M(0)-M(100)[/tex3] .
[tex3]M(0)-M(100)=C-Ce^{-100k}=C-Ce^{-100\frac{ln2}{1600}}=C-Ce^{-\frac{ln2}{16}}=C-Ce^{-\frac{1}{16}ln2}=C-Ce^{ln2^{-\frac{1}{16}}}=C-C\times2^{-\frac{1}{16}}[/tex3]
[tex3]M(0)-M(100)=C(1-2^{-\frac{1}{16}})=[/tex3]
Portanto, a quantidade perdida em 100 anos é [tex3]C(1-2^{-\frac{1}{16}})[/tex3] que corresponde a [tex3](1-2^{\frac{-1}{16}})[/tex3] da quantidade inicial.
Cumprimentos.
Editado pela última vez por MPSantos em 20 Mar 2016, 18:43, em um total de 1 vez.
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