Ensino Superior ⇒ Sucessões-Critério de Cauchy

[Cientista]

Utilizando o critério de Cauchy mostre que a sucessão:

Código: Selecionar tudo

[tex3]x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{Sink}{k^{2}}[/tex3]

é convergente ou se é divergente.

Galera, peço uma breve explicação sobre esse Critério sem dar muito Trabalho como ver ou provar se ela converge ou diverge

[jedi]

O critério de Cauchy diz que uma série é convergente se

Código: Selecionar tudo

[tex3]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1[/tex3]

então a série é convergente

neste caso

Código: Selecionar tudo

[tex3]a_n=\frac{\sin(n)}{n^2}[/tex3]

tente aplicar o limite e verificar, qualquer coisa comente

[Cientista]

Sim ele converge, ao usar limites teremos 0<1..

Mas o critério só afirma isso? Imagina se tiver outros casos, que eu próprio postei um pouco mais complexos?

[jedi]

Segundo o critério se o resultado for maior que 1 a série é divergente e se for igual a 1 é inconclusivo
neste casos mais complexos caso o teste não funcione deve se tentar outros teste, ou outras forma de analisar a serie.

[Cientista]

Minha dúvida, está aí. Que outros casos existem?

[jedi]

Existem os testes, da razão, teste da integral, teste da comparação, teste da série alternada dependendo da série algum destes testes pode dizer se a serie converge ou diverge.