(Gazeta Matemática, Romênia) Equação do 2º Grau

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diogopfp: Mensagens: 145; Registrado em: 03 Jun 2011, 21:04; Última visita: 21-03-20; Agradeceu: 2 vezes; Agradeceram: 33 vezes

Jan 2016 08 10:30

(Gazeta Matemática, Romênia) Equação do 2º Grau

Mensagem não lidapor diogopfp » 08 Jan 2016, 10:30

Mensagem não lida por diogopfp » 08 Jan 2016, 10:30

(Gazeta Matemática, Romênia) Sejam $a, b \in\mathbb{Z}$ . Sabendo que a equação $(ax- b)^2 + (bx- a)^2 = x$ , tem uma raiz inteira, encontre os valores de suas raízes.

Editado pela última vez por diogopfp em 08 Jan 2016, 10:30, em um total de 1 vez.

diogopfp

tiagomiranda: Mensagens: 17; Registrado em: 13 Dez 2012, 22:03; Última visita: 25-04-16; Agradeceram: 6 vezes

Jan 2016 13 01:04

Re: (Gazeta Matemática, Romênia) Equação do 2º Grau

Mensagem não lidapor tiagomiranda » 13 Jan 2016, 01:04

Mensagem não lida por tiagomiranda » 13 Jan 2016, 01:04

Veja o exercício 32 no link abaixo.
Link:http://matematica.obmep.org.br/uploads/ ... uacoes.pdf

tiagomiranda

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Primeira Postagem

Seja f(x)=a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2 , com a,b,c \in \mathbb{Q}^*_+ . Provar que existe n\in \mathbb{N} tal que f(n)=0 então n é um quadrado perfeito.

Solução do Rufino:
O discriminante da equação é dado...

Últ. msg

\frac{b^2-2ac}{2a^2} é racional.

\frac{ b\sqrt{b^2-4ac}}{2a^2} é irracional se \sqrt{b^2-4ac} for irracional.

Então você vai somar ou subtrair um racional com um irracional, que dá um resultado...

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Resolva a equação no conjunto dos números inteiros positivos.
{x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2=1335(x_1+x_2+...+x_n).

0 Resp.

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Primeira Postagem

Encontre todos os polinômios:
P(x)=an x^{n} +an-1 x^{n-1} +...+a1x+a0, n \geq 2 , com coeficientes reais não nulos tais que P (x) - P1 (x)P2 (x)...Pn-1 (x) seja um polinômios constante, onde P1...

Últ. msg

por comparação de graus, o produto ali vai ter como grau a soma dos graus dos P_i (use a fórmula da PA pra achar o grau dele e iguale ao grau de P(x)) dai é só expandir o produto e ver quem são os...

2 Resp.

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24 Mai 2015, 03:50
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por undefinied3 » 16 Mai 2017, 21:31 » em Olimpíadas

Suponha que A, B e C sejam matrizes 2x2 que comutam entre si. Prove que
det((A+B+C)(A^3+B^3+C^3-3ABC)) \geq 0

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Primeira Postagem

(Romênia TST) Considere a sequência (a_n)_{n\geq0} , definida por a_0=a_1=1 e a_{n+1}=14a_n-a_{n-1} , n\geq1 . Prove que para todo n\geq0, \ 2a_n-1 é um quadrado perfeito.

Últ. msg

O polinômio característico da recorrência é x^2=14x-1 , ou seja:

a_n = x\cdot (7+4\sqrt{3})^n+y\cdot (7-4\sqrt{3})^n

De onde:

\begin{cases}
x\cdot (7+4\sqrt{3})^0+y\cdot (7-4\sqrt{3})^0=1 \\...

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Últ. msg por Ittalo25
10 Jun 2019, 18:15

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