Pré-Vestibular ⇒ (UESB - 2012) Matrizes Tópico resolvido

[Garibaldi]

Seja a matriz [tex3]A = (a_{ij})_{3\times 3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A = (a_{ij})_{3\times 3}[/tex3]

, tal que [tex3]a_{ij} = j+x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{ij} = j+x[/tex3]

, se [tex3]i=j[/tex3]

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[tex3]i=j[/tex3]

e [tex3]a_{ij}
= j[/tex3]

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[tex3]a_{ij}
= j[/tex3]

, se [tex3]i\neq j[/tex3]

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[tex3]i\neq j[/tex3]

. De acordo com esses dados, pode-se afirmar que a média aritmética das raízes da equação [tex3]\det(a)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\det(a)=0[/tex3]

é igual a

01) -2
02) -3
03) -4
04) -5
05) -6

Resposta

---

05

[jrneliodias]

Olá, Garibaldi.

Nossa matriz [tex3]A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A[/tex3]

será

[tex3]A=\begin{pmatrix}
1+x & 2 & 3 \\
1 & 2+x & 3 \\
1 & 2 & 3+x \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]A=\begin{pmatrix}
1+x & 2 & 3 \\
1 & 2+x & 3 \\
1 & 2 & 3+x \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Então, queremos

[tex3]\begin{vmatrix}
1+x & 2 & 3 \\
1 & 2+x & 3 \\
1 & 2 & 3+x \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}
1+x & 2 & 3 \\
1 & 2+x & 3 \\
1 & 2 & 3+x \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

Tomemos então a soma das três colunas e substituímos na primeira coluna:

[tex3]\begin{vmatrix}
\,6+x & 2 & 3\, \\
\,6+x & 2+x & 3\, \\
\,6+x & 2 & 3+x\, \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

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[tex3]\begin{vmatrix}
\,6+x & 2 & 3\, \\
\,6+x & 2+x & 3\, \\
\,6+x & 2 & 3+x\, \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

Colocando a primeira coluna em evidência:

[tex3](6+x)\begin{vmatrix}
\,1 & 2 & 3\, \\
\,1 & 2+x & 3\, \\
\,1 & 2 & 3+x\, \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](6+x)\begin{vmatrix}
\,1 & 2 & 3\, \\
\,1 & 2+x & 3\, \\
\,1 & 2 & 3+x\, \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

Aplicando Chió teremos

[tex3](6+x)\begin{vmatrix}
x & -1\, \\
0& x\, \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

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[tex3](6+x)\begin{vmatrix}
x & -1\, \\
0& x\, \\
\end{vmatrix}=0[/tex3]

[tex3]x^2(x+6)=0[/tex3]

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[tex3]x^2(x+6)=0[/tex3]

[tex3]ma=\frac{0+0-6}{3}=-2[/tex3]

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[tex3]ma=\frac{0+0-6}{3}=-2[/tex3]

Creio que o gabarito esteja errado.

Espero ter ajudado. Bons estudos.

[Garibaldi]

Desculpa jrneliodias, mas a parte de tomar a soma das três colunas e substituir na primeira eu não entendi, pode me explicar em qual regra é baseada? E no elemento a23 do det da substituição acho que você trocou o 3 pelo 2, mas o resultado é o mesmo. Além disso, eu não entendi porque na parte final houve dois zeros como raiz.

[jrneliodias]

Olá, Garibaldi.

Na soma das colunas, eu usei o Teorema de Jacobi, a soma de duas filas paralelas, mesmo multiplicada por uma constante, não altera o determinante.

Já concertei o erro.

Na verdade, na hora achei mais certo fazer assim, porém pensando melhor as raízes são os valore que fazer o determinante zerar, então só a dois. Portanto, a média aritmética é -3.

Espero ter ajudado.

[Garibaldi]

Mas a resposta é -2 no gabarito, porém eu só não entendi o porquê dos dois zeros, mas creio que seja desse modo mesmo, com os dois zeros, que se chega na resposta.