Olimpíadas ⇒ (XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
- cicero444
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Dez 2015
02
19:51
(XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
Existe algum número da forma qqpp que seja quadrado perfeito, onde p e q são algarismos e q [tex3]\neq[/tex3]
0?
Editado pela última vez por cicero444 em 02 Dez 2015, 19:51, em um total de 1 vez.
- Ittalo25
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Dez 2015
02
21:11
Re: (XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
Pelo critério de divisibilidade esse número é divisível por 11.
Mas:
Então:
Usando base 10:
Devemos ter:
Como p e q são algarismos e , vejamos:
Assim:
Como p é apenas um algarismo, ou seja, varia entre 0 e 9, então:
Dá pra testar de boa:
Para k = 4
Para k = 5
Para k = 6
Para k = 7
Para k = 8
Para k = 9
O único caso promissor é se , porque daí teríamos:
Testando:
Assim:
Achamos
Mas:
Então:
Usando base 10:
Devemos ter:
Como p e q são algarismos e , vejamos:
Assim:
Como p é apenas um algarismo, ou seja, varia entre 0 e 9, então:
Dá pra testar de boa:
Para k = 4
Para k = 5
Para k = 6
Para k = 7
Para k = 8
Para k = 9
O único caso promissor é se , porque daí teríamos:
Testando:
Assim:
Achamos
Editado pela última vez por Ittalo25 em 02 Dez 2015, 21:11, em um total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
- undefinied3
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Dez 2015
02
21:17
Re: (XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
Um número "qqpp" pode ser escrito algebricamente como
Da relação acima, tiramos que é um múltiplo de 11, mas como trata-se de um quadrado perfeito, esse fator 11 não pode apenas uma vez sozinho no x, então temos necessariamente que
Temos então que "q0p" = . Dessa vez, "q0p" precisa ser divisível por 11. O critério de divisibilidade por 11 nos diz que a soma dos algarimos ímpares menos a soma dos algarísmos pares deve ser divisível por 11 para que o número seja divísivel por 11. Assim:
Como p e q são algarismos, ou seja, estão entre 0 e 9, e não queremos q=0, temos necessariamente que
De solução para esta equação, temos os seguintes pares: , resultando nos números 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803 e 902, respectivamente. Escrevendo esses números como 11 vezes alguma coisa, obtemos 11.19, 11.28, 11.37, 11.46, 11.55, 11.64, 11.73 e 11.82, respectivamente. Desses, o único da forma é o 11.64, ou seja,
Com , obtemos
Então existe apenas um número do tipo qqpp, tal que , que é um quadrado perfeito, o 7744.
Creio que seja esta a resolução.
EDIT: O Ittalo25 postou sua resolução antes de mim, mas vou deixá-la aqui de qualquer forma.
. Queremos que isto seja um quadrado perfeito, então:Da relação acima, tiramos que é um múltiplo de 11, mas como trata-se de um quadrado perfeito, esse fator 11 não pode apenas uma vez sozinho no x, então temos necessariamente que
Temos então que "q0p" = . Dessa vez, "q0p" precisa ser divisível por 11. O critério de divisibilidade por 11 nos diz que a soma dos algarimos ímpares menos a soma dos algarísmos pares deve ser divisível por 11 para que o número seja divísivel por 11. Assim:
Como p e q são algarismos, ou seja, estão entre 0 e 9, e não queremos q=0, temos necessariamente que
De solução para esta equação, temos os seguintes pares: , resultando nos números 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803 e 902, respectivamente. Escrevendo esses números como 11 vezes alguma coisa, obtemos 11.19, 11.28, 11.37, 11.46, 11.55, 11.64, 11.73 e 11.82, respectivamente. Desses, o único da forma é o 11.64, ou seja,
Com , obtemos
Então existe apenas um número do tipo qqpp, tal que , que é um quadrado perfeito, o 7744.
Creio que seja esta a resolução.
EDIT: O Ittalo25 postou sua resolução antes de mim, mas vou deixá-la aqui de qualquer forma.
Editado pela última vez por undefinied3 em 02 Dez 2015, 21:17, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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