Olimpíadas ⇒ (XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
- cicero444
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Dez 2015
02
19:51
(XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
Existe algum número da forma qqpp que seja quadrado perfeito, onde p e q são algarismos e q [tex3]\neq[/tex3]
0?
Editado pela última vez por cicero444 em 02 Dez 2015, 19:51, em um total de 1 vez.
- Ittalo25
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Dez 2015
02
21:11
Re: (XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
Pelo critério de divisibilidade esse número é divisível por 11.
Mas:![11^{4} = 14641 > qqpp 11^{4} = 14641 > qqpp](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?11^{4} = 14641 > qqpp)
Então:
![qqpp = 11^2 \cdot 2^a \cdot 3^b \cdot .... qqpp = 11^2 \cdot 2^a \cdot 3^b \cdot ....](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?qqpp = 11^2 \cdot 2^a \cdot 3^b \cdot ....)
Usando base 10:
![1000q + 100q + 10p + p = 1000q + 100q + 10p + p =](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?1000q + 100q + 10p + p =)
![1100q + 11p = 1100q + 11p =](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?1100q + 11p =)
![11\cdot (100q + p) = 11\cdot (100q + p) =](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?11\cdot (100q + p) =)
Devemos ter:
![100q + p \equiv 0 \mod(11) 100q + p \equiv 0 \mod(11)](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?100q + p \equiv 0 \mod(11))
Como p e q são algarismos e
, vejamos:
![100q + p = 11k^2 100q + p = 11k^2](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?100q + p = 11k^2)
![q = \frac{11k^2 - p }{100} q = \frac{11k^2 - p }{100}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?q = \frac{11k^2 - p }{100})
Assim:
![1 \leq \frac{11k^2 - p }{100} \leq 9 1 \leq \frac{11k^2 - p }{100} \leq 9](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?1 \leq \frac{11k^2 - p }{100} \leq 9)
![100 \leq 11k^2 - p \leq 900 100 \leq 11k^2 - p \leq 900](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?100 \leq 11k^2 - p \leq 900)
Como p é apenas um algarismo, ou seja, varia entre 0 e 9, então:
![4 \leq k \leq 9 4 \leq k \leq 9](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?4 \leq k \leq 9)
Dá pra testar de boa:
Para k = 4
![q = \frac{11\cdot 4^2 - p }{100} = \frac{176 - p }{100} q = \frac{11\cdot 4^2 - p }{100} = \frac{176 - p }{100}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?q = \frac{11\cdot 4^2 - p }{100} = \frac{176 - p }{100})
Para k = 5
![q = \frac{11\cdot 5^2 - p }{100} = \frac{275 - p }{100} q = \frac{11\cdot 5^2 - p }{100} = \frac{275 - p }{100}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?q = \frac{11\cdot 5^2 - p }{100} = \frac{275 - p }{100})
Para k = 6
![q = \frac{11\cdot 6^2 - p }{100} = \frac{396 - p }{100} q = \frac{11\cdot 6^2 - p }{100} = \frac{396 - p }{100}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?q = \frac{11\cdot 6^2 - p }{100} = \frac{396 - p }{100})
Para k = 7
![q = \frac{11\cdot 7^2 - p }{100} = \frac{539 - p }{100} q = \frac{11\cdot 7^2 - p }{100} = \frac{539 - p }{100}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?q = \frac{11\cdot 7^2 - p }{100} = \frac{539 - p }{100})
Para k = 8
![q = \frac{11\cdot 8^2 - p }{100} = \frac{704 - p }{100} q = \frac{11\cdot 8^2 - p }{100} = \frac{704 - p }{100}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?q = \frac{11\cdot 8^2 - p }{100} = \frac{704 - p }{100})
Para k = 9
![q = \frac{11\cdot 8^2 - p }{100} = \frac{891 - p }{100} q = \frac{11\cdot 8^2 - p }{100} = \frac{891 - p }{100}](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?q = \frac{11\cdot 8^2 - p }{100} = \frac{891 - p }{100})
O único caso promissor é se
, porque daí teríamos:
Testando:
Assim:
Achamos
![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
Mas:
Então:
Usando base 10:
Devemos ter:
Como p e q são algarismos e
Assim:
Como p é apenas um algarismo, ou seja, varia entre 0 e 9, então:
Dá pra testar de boa:
Para k = 4
Para k = 5
Para k = 6
Para k = 7
Para k = 8
Para k = 9
O único caso promissor é se
Testando:
Assim:
Achamos
![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
![Laughing :lol:](./images/smilies/icon_lol.gif)
Editado pela última vez por Ittalo25 em 02 Dez 2015, 21:11, em um total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
- undefinied3
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Dez 2015
02
21:17
Re: (XXII-OPM) Quadrados Perfeitos
Um número "qqpp" pode ser escrito algebricamente como
. Queremos que isto seja um quadrado perfeito, então:
![1100q+11p=x^2 \rightarrow 11(100q+p)=x^2 1100q+11p=x^2 \rightarrow 11(100q+p)=x^2](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?1100q+11p=x^2 \rightarrow 11(100q+p)=x^2)
Da relação acima, tiramos que
é um múltiplo de 11, mas como trata-se de um quadrado perfeito, esse fator 11 não pode apenas uma vez sozinho no x, então temos necessariamente que ![x^2=(11t)^2 x^2=(11t)^2](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?x^2=(11t)^2)
![11(100q+p)=(11t)^2 \rightarrow 100q+p=11t^2 11(100q+p)=(11t)^2 \rightarrow 100q+p=11t^2](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?11(100q+p)=(11t)^2 \rightarrow 100q+p=11t^2)
Temos então que "q0p" =
. Dessa vez, "q0p" precisa ser divisível por 11. O critério de divisibilidade por 11 nos diz que a soma dos algarimos ímpares menos a soma dos algarísmos pares deve ser divisível por 11 para que o número seja divísivel por 11. Assim:
![(p+q)-(0)=11k \rightarrow p+q=11k (p+q)-(0)=11k \rightarrow p+q=11k](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?(p+q)-(0)=11k \rightarrow p+q=11k)
Como p e q são algarismos, ou seja, estão entre 0 e 9, e não queremos q=0, temos necessariamente que![p+q=11 p+q=11](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?p+q=11)
De solução para esta equação, temos os seguintes pares:
, resultando nos números 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803 e 902, respectivamente. Escrevendo esses números como 11 vezes alguma coisa, obtemos 11.19, 11.28, 11.37, 11.46, 11.55, 11.64, 11.73 e 11.82, respectivamente. Desses, o único da forma
é o 11.64, ou seja, ![t=8 t=8](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?t=8)
Com
, obtemos ![x^2=(11*8)^2=7744 x^2=(11*8)^2=7744](https://www.tutorbrasil.com.br/latex/mathtex.cgi?x^2=(11*8)^2=7744)
Então existe apenas um número do tipo qqpp, tal que
, que é um quadrado perfeito, o 7744.
Creio que seja esta a resolução.
EDIT: O Ittalo25 postou sua resolução antes de mim, mas vou deixá-la aqui de qualquer forma.
Da relação acima, tiramos que
Temos então que "q0p" =
Como p e q são algarismos, ou seja, estão entre 0 e 9, e não queremos q=0, temos necessariamente que
De solução para esta equação, temos os seguintes pares:
Com
Então existe apenas um número do tipo qqpp, tal que
Creio que seja esta a resolução.
EDIT: O Ittalo25 postou sua resolução antes de mim, mas vou deixá-la aqui de qualquer forma.
Editado pela última vez por undefinied3 em 02 Dez 2015, 21:17, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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